| 研究課題/領域番号 |
23K22385
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01114 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
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| 研究分担者 |
木村 嘉之 大阪公立大学, 国際基幹教育機構, 特任講師 (10637010)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,340千円 (直接経費: 11,800千円、間接経費: 3,540千円)
2026年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2025年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2024年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2023年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
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| キーワード | 団代数 / 団散乱図 / 二重対数関数 / 散乱図式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
団代数は，2000年ごろにFominとZelevinskyにより導入された可換代数の一種である．多元環や量子群の表現論，タイヒミュラー理論，整数論，完全WKB解析など，様々な分野に現れる代数的組み合わせ論的構造として，盛んに研究されている．本研究では，団代数理論の理論体系を整備すること，団代数理論の様々な応用を研究することの二つを主題としている．特に，団代数理論をミラー対称性に現れる散乱図により再定式化することを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
2020年度に執筆を開始した団代数と団散乱図に関するモノグラフ``Cluster algebras and scattering diarams'' を完成し出版した（著書[5]）。内容は、Gross-Hacking-Keel-Kontsevichにより導入された団散乱図（cluster scattering diagram）と団代数の基礎構造である団パターンの関係（Part 2）を軸として、合わせて、団代数の入門（Part 1）及び団散乱図の解説（Part 3）を加えたものである。特に、Part 2及びPart 3は単なるレビューではなく、多くの新しい結果や定式化を含むものである。なかでも、Part 2における$C$行列の符号同一性の証明と関連する双対定理の再証明、Part 3における二重対数元に対する五角関係式を用いた団散乱図の正実現と団散乱図の整合性が五角関係式から生成されるという定理は団代数理論において極めて重要な成果であると考えている。これと並行して、団代数と２重対数関数恒等式の関係に関する包括的なレビューの執筆を開始した。これは２０２３年度中の完成を目指している。また、本計画のもう一つの柱である団代数に関連する研究集会を２回（Trends in Cluster Algebras 2022, 2022年9月;Advances in Cluster Algebras 2023, 2023年3月）開催した。いずれも、情勢を鑑みてonlineで行った。これにより、団代数に関する最新の知見を得るとともに、団代数に関連する研究者同士の研究交流を促進し、本計画を進める上での研究環境を整えることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
団代数理論と散乱図の融合に関する第一の目標は二重対数元の間の五角関係式を用いたGross等による団代数理論と散乱図の関係の明確化を成し得ることであった。この目標を実行し、結果をこの分野における初めての包括的なモノグラフ(Cluster algebras and scattering diagrams, MSJ Memoirs vol. 41 (2023), Mathematical Society of Japan)の形にまとめ出版を行った。これは今後の団代数構造の研究の基盤となるものである。特に、Grossらの団散乱図の正実現の構成を二重対数元の間の五角関係式による整列アルゴリズムを用いて再定式化したことは、団散乱図の研究における新しい有効な研究手段を与えるものと考えている。これと並行して、団代数と２重対数関数恒等式の関係に関する包括的なレビューの執筆も開始した。これは今後の量子団代数の研究の基礎となることを目指している。これらより本研究課題は順調に進展しているという判断をする。
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| 今後の研究の推進方策 |
団代数と二重対数関数恒等式に関するレビューの執筆を引き続き行い、また団代数理論の基礎付けを与える新たな教科書を執筆する。また、団代数に関する様々な未解決問題に取り組んでいく。特に、団散乱図における特に重要な問題であるbadlandsの構造や、量子団代数における正値性に取り組む。これを実行するための方策として、２０２３年８月には、名古屋大学において、海外から複数名の講師を招聘し団代数の最新成果を学ぶためのサマースクールを開催する。また、２０２３９月には香港大とメリーランド大、２０２４年１月にはオーバーヴォルファッハ数学研究所における研究集会に参加し、最新の成果を得る。また、２０２３年９月より来日予定の団代数理論の新進気鋭の研究者であるPeigen Cao氏との共同研究も計画をしている。
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