| 研究課題/領域番号 |
23K22385
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01114 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
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| 研究分担者 |
木村 嘉之 大阪公立大学, 国際基幹教育機構, 特任講師 (10637010)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,340千円 (直接経費: 11,800千円、間接経費: 3,540千円)
2026年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2025年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2024年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2023年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
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| キーワード | 団代数 / 団散乱図 / 二重対数関数 / 散乱図式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
団代数は，2000年ごろにFominとZelevinskyにより導入された可換代数の一種である．多元環や量子群の表現論，タイヒミュラー理論，整数論，完全WKB解析など，様々な分野に現れる代数的組み合わせ論的構造として，盛んに研究されている．本研究では，団代数理論の理論体系を整備すること，団代数理論の様々な応用を研究することの二つを主題としている．特に，団代数理論をミラー対称性に現れる散乱図により再定式化することを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
1.ランク3の団代数のG扇の研究：団代数におけるG扇は，団パターンの構造を実現する重要な幾何学的対象である．ランク2の場合の構造はよく知られている一方で，ランクが3以上の場合，有限型，アフィン型の構造はランク2の自然な拡張となることが知られているが，非アフィン型についてはいくつかの例を除きほとんど知られていない．そこで，本研究においてはランク3のG扇の研究に取り組んだ．ランク3のG扇の正象限には3つの角があり，それらがすべて非アフィン型となる場合（完全無限型）を考える．このとき，それぞれの角におけるG扇の挙動は，[Gekhtman-中西21]の結果を用いて6つのパターンに分類できる．これらの組み合わせを$G$扇の局所パターンと呼ぶ．このとき，局所パターンによりG扇全体の構造（大域パターン）の分類が与えられる，というのが本研究の結果である．これは，多くの例の解析による予想であり，これを証明することが今後の新たな課題として見出された．以上の結果は，プレプリント[1]としてarXivに公表した．
2.団代数論のテキストの執筆：テキスト[2]では団代数理論の体系の一つの形を与えた．これはすでに出来上がっている分野の入門書を書くのとは異なり，理論体系自体の構成を行ったものであり，この15年の間に取り組んできた団代数の研究を総括する重要な研究成果と位置付ける．
3.国際研究集会「Spring School on Cluster Algebras 2025」を開催した．
[1]. Tomoki Nakanishi, Local and global patterns of rank 3 G-fans of totally-infinite type, arXiv:2411.16283
[2]. 中西知樹，団代数論の基礎, 東京大学出版会, 2024.
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題である団代数と団散乱図の関係ついて，今年度はランク3の団散乱図の分類の予想を与え，団散乱図の理解に対して重要な前進をした．また，この予想の証明とさらに高いランクの場合への拡張を行うことが新たな研究課題として浮上したことも重要な成果である．また，昨年度から執筆していた団代数論の基礎体系を与えるテキストが完結し出版できた．これにより，団代数の研究により多くの研究者が参入しやすくなり，その結果，本研究テーマに関しても今後新たな多くの成果が見込まれる．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に得られたランク3のG扇の構造の分類予想を踏まえて，これを発展させる．第１に，ランク3の予想をもとに，G扇の構造の類型のより明確な定式化を与え，最終的に予想の証明を目指す．第２に，ランクが4以上の場合のG扇の類型の解析に着手する．そのためには，ランク3における団輪状に相当する概念が必要であり，まずここから研究を始める．第３に，ランク3における悪地領域の虚ルートの関係を調べ，その構造の解明を行う．
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