| 研究課題/領域番号 |
23K22390
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01119 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
栗原 将人 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40211221)
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| 研究分担者 |
塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 名誉教授 (00015835)
藤井 俊 島根大学, 学術研究院教育学系, 准教授 (20386618)
佐野 昂迪 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30794698)
坂本 龍太郎 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70905447)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,550千円 (直接経費: 13,500千円、間接経費: 4,050千円)
2025年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2024年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2022年度: 8,710千円 (直接経費: 6,700千円、間接経費: 2,010千円)
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| キーワード | 楕円曲線 / Selmer群の構造 / イデアル類群 / Fittingイデアル / 同変岩澤主予想 / Euler系 / Stark系 / 岩澤理論 / 岩澤加群の生成元 / Selmer群 / Gauss和型Euler系 / オイラー系 / 楕円曲線のSelmer群 / 岩澤加群 / セルマー群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ゼータ関数の整数での値が持つ数論的意味に関しては、整数論の主題として多くの研究がなされてきている。われわれは、イデアル類群やSelmer群のような数論的対象物をGalois群が作用する加群と考え、その作用もこめたGalois加群の様子をゼータ関数由来の解析的対象で表す一般的な研究を行う。最近新しく発展している Euler系、Kolyvagin系、Stark系などのコホモロジー群の元の系列を、新たな視点から組織的に研究し、Selmer群や数論的コホモロジー群のGalois加群としての構造を、ゼータ関数由来の元で記述する理論を創りあげ、従来の岩澤理論を高い立場から一般化・精密化した理論を構築する。
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| 研究実績の概要 |
総実代数体上の有限次 CM abel 拡大体のイデアル類群について、そのPontryagin双対のマイナス成分のFittingイデアルをTeichmuller指標成分を除いて決定し、Teichmuller指標成分についても、ある条件の下で決定した。また、CM体の岩澤加群についても同様のことを実行し、FittingイデアルをTeichmuller指標成分もこめて完全に決定した。さらに、同変岩澤主予想に、Dasgupta Kakde Silliman Wangの最近のひとつの結果(Burns, 佐野と私による予想の解決)を用いた、簡潔な証明を与えた。この証明はp=2に対しても適用することができ、p=2に対しての同変岩澤主予想も証明することができた。
Gauss和型のEuler系、Gauss和型のKolyvagin系について詳しく研究した。有理数体上の楕円曲線のmod p Selmer群について、以前の論文で提示していた予想を、mod p冪に拡張した。また、ゼータ関数の値から定義される値を用いて、Selmer群の構造を有限回の操作で決定する、今までにない新しい方法を発見した。さらにこの予想を研究分担者の坂本龍太郎との共同研究で証明することができた。さらに、この理論をある種の条件をみたす保型形式および一般の代数体上の楕円曲線にも一般化した。
日本で行われた岩澤理論の国際研究集会に、世界の第一線で活躍する研究者達を招聘し、最新の結果の情報を得ると共に、本研究の内容を世界に発信することができた。また、世界の多くの研究者と議論することにより、本研究を進展させた。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要欄に述べたように、新しい成果がいくつも得られており、本計画は順調に進んでいると判断できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もこの方向の研究を進展させたいと考えている。特にGauss和型のEuler系、Gauss和型のKolyvagin系については、新しいことが次々にわかってきているので、これを発展させたいと考えている。また、この理論は数値計算による実例の計算が可能であるので、今まで計算されたことのない場合に適用するなど、計算面も発展させたい。
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