| 研究課題/領域番号 |
23K22393
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01122 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| 研究分担者 |
庄田 敏宏 関西大学, システム理工学部, 教授 (10432957)
成 慶明 福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90244409)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,990千円 (直接経費: 12,300千円、間接経費: 3,690千円)
2026年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2025年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2022年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
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| キーワード | ラプラシアンの第1固有値 / ウェイト付きリーマン幾何 / 等長埋め込み / 半正値計画法 / 双対問題 / 極小曲面 / DPW法 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ラプラシアンの第1固有値を最大化するリーマン計量を求める問題, およびそのウェイト付きリーマン幾何における類似について研究する.
第1の課題について, まずDPW法によって球面内の種数3の極小閉曲面を構成し, 次にそのラプラシアン第1固有値と面積を求める. 第2の課題については, 最適解の存在を先に確立し, それとNadirashvili型定理から最適値の一致を導く.
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き, 多様体の埋め込み最適化問題とBakry-Emeryラプラシアン第1固有値の最大化問題について研究を行った. 昨年度, 3次元球面上のBerger計量について, ファイバーが縮小した場合に第1固有値最大化問題と写像の分散最大化問題という双対問題を解いたが, 今年度は, ファイバーが拡大しし場合にこれら双対問題を解くことができた. 回としてリーマン計量でなく, カルノー・カラテオドリ計量が現れ, また, 膨満写像は等長はめこみになるとは限らないという新たな知見を得た. また, 3次元球面上のすべての左不変計量に対しても双対問題を解くことができた. 今年度はさらに一般的な解の存在についても研究を進め, 第1固有値最大化問題について超関数解が存在すること, および双対問題の最適値が一致することを明らかにした. 後者は, 我々の双対問題について, 強双対性の成立が部分的に確認できたことを意味する.
やはり昨年度からの継続で, 五明工氏(大阪大学・特任研究員)と共同で, 長さ付き有限グラフの藤原ラプラシアン第1固有値の最大化問題について研究を行った. 昨年度から, グラフがサイクルを含むならば第1固有値は発散するという予想の証明に取り組んできたが, 今年度これを完結させることができた.
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
多様体の埋め込み最適化とBakry-Emeryラプラシアン第1固有値の最大化問題について, それらが解ける例の蓄積という点でよい進展があり, 次年度初めに第1論文の執筆を終えられる目処がたった. また, 一般的な解の存在という問題についても, 第1固有値最大化問題について超関数解が存在することを示すことができ, 強双対性の成立を部分的に確認できた.
長さ付き有限グラフの藤原ラプラシアンの第1固有値最大化問題については, グラフがサイクルを含むならば第1固有値は発散するという予想について, その証明を完結し, 論文にまとめることができた.
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き, 多様体の埋め込みとラプラシアン第1固有値に関する最適化問題について研究を進める. まずは第1論文の執筆を終える. その後, 多様体の埋め込み最適化問題についても超関数解が存在するか考察する. これができたら, 第1固有値最大化問題とあわせて, 解のregularityを調べる. 双対問題が解ける例の蓄積についてこれまでに一定の成果を得ているが, 今年度さらに努める. とくに, 3次元ハイゼンベルグ多様体上の左不変計量について考えたい.
長さ付き有限グラフの藤原ラプラシアンの第1固有値の最大化問題についても研究を継続する. グラフがサイクルを含まない, すなわち樹木であれば, 第1固有値は有界になるという予想を肯定的に解決することを目指す.
これができれば, さらに第1固有値の上限を実現する長さ関数が存在するかという問題に取り組む.
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