| 研究課題/領域番号 |
23K22396
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01125 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
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| 研究分担者 |
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
馬場 伸平 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (40822870)
金 英子 大阪大学, 全学教育推進機構, 教授 (80378554)
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
河澄 響矢 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)
2026年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
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| キーワード | 3次元多様体 / 双曲幾何 / Klein群 / Teichmuller空間 / 双曲構造 / 写像類群 / ３次元多様体 / 曲面バンドル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
３次元多様体は，トポロジーにおいて，大変重要な研究対象である．Thurstonによる３次元多様体の研究への双曲幾何導入，PerelmanによるThurstonの幾何化予想の解決，その後のAgolらによるvirtual Haken予想の解決により，３次元多様体の研究で最も重要なのは，双曲多様体やその変形空間を深く調べることであることがわかった．．
本研究は，３次元多様体の研究を進めるために，離散群の表現空間，特にKlein群の表現空間，Teichmuller空間などの大域幾何学的研究を行いながら，その３次元多様体への応用を行うことを目標としている．研究においては双曲幾何的な手法が重要な道具となる
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| 研究実績の概要 |
大鹿は，ThurstonがHaken多様体の一意化定理の証明の一部として発表した"broken windows only theorem"のstatementには誤りがあることを，実際に反例を構成することにより示した．さらにこの反例はSkoraの定理が3次元では成立しないことも示している．statementを正しい形にするためには，homotopy同値な多様体を考慮に入れねばならないことを指摘し，弱い形になるが正しいstatementを与えた．この定理は，Lecuireと大鹿が最近最新のKlein群理論をもちいて証明した"bounded image theorem"についてThurstonが元々考えていた証明の構成要素であるが，正しい形に直すとこの定理は当時の道具立てでは証明に困難が生じていたことを明らかにした．
金は川室とのAgolサイクルについての共同研究を継続し，今年度は4点穴あき円板と２点穴あきトーラスの擬Anosov写像のある無限族について Agol サイクルを具体的に構成した.
森藤は，Friedl-Vidussiのファイバー性に関する消滅定理について，ねじれAlexander多項式が消滅するような結び目群の表現を許容する有限群の特徴付けを与えた．また，二面体群やmetacyclic群を含むいくつかの有限群を経由する結び目群の表現に付随したねじれAlexander多項式の明示公式を与えた．
河澄は閉曲面のパンツ分解から自然な定まる曲面の胞体分割を導入することにより，Weil-Petersson シンプレクティック形式をFenchel-Nielsen 座標によって表す Wolpert の公式の位相的な証明を与えた．さらに、スピン双曲曲面についての Fenchel-Nielsen 座標も導入した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2023年度になり，コロナ禍の影響による海外出張の制限も終わり，本格的に国際共同研究を行うことができるようになった．Oberwolfachにて，大鹿，宮地をメンバーに含む国際共同研究と大鹿が組織委員として加わった国際研究集会を開いたほか，WienのSchrodinger研究所での国際研究集会において，大鹿が本研究の成果を発表することができた．さらに日本でも日本数学会の援助も受けたMSJ-SIを大鹿，河澄が組織委員加わり企画し，本研究の海外での共同研究者も講演者に加わり，成果を発表することができた．また例年フランスから研究者を招いた国際研究集会として行なっているTopology and geometry of low-dimensional manifoldsを今年度は対面で島根大学で開催することができた．
また本研究の進展に伴い，成果を論文として発表する作業も順調に進んでいる．
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| 今後の研究の推進方策 |
３次元双曲多様体の研究としては，大鹿がLecuireと共同で行ってきたbounded image theoremの証明の道具立てを用いて，境界がcompressibleである場合の双曲構造の変形空間への諸結果の拡張を試みる．具体的には，境界がcompressibleである場合の双曲構造の退化を幾何的に表現しようとする際の障害となるgeometric limitの分類問題に，まずはconvex coreの退化が単純な場合に限定して取り組む．さらに大鹿，馬場の共同研究をLecuireの開発した手法と合わせることにより，ending laminationとbending laminationの同時実現の問題をcompressibleな境界を持つ場合に拡張する．これらの研究を推進するためには，大阪大学およびENS Lyonを共同研究の場とする．
金が行ってきたAgolサイクルの研究を応用し，大鹿と菌が共同で曲面バンドルのThurstonノルムに関する単位球の構造についての理解を深める．
2024年度においてもTopology and geometry of low-dimensional manifoldsの企画を奈良女子大で開催することにより続ける．
2023年に開催したMSJ-SIについてはproceedingsの出版を企画しており，そこには本研究の成果が一部含まれている．この編集作業の手伝いを本経費を用いた雇用で賄う．
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