| 研究課題/領域番号 |
23K22401
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01130 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
WILLOX Ralph 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20361610)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,030千円 (直接経費: 13,100千円、間接経費: 3,930千円)
2025年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2024年度: 4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2023年度: 4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
2022年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 離散可積分系 / 関数方程式 / エントロピー / 特異点 / セル・オートマトン |
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| 研究開始時の研究の概要 |
特異点は，数学と理論物理学にまたがる「可積分系」研究分野において非常に大きな役割を果たしてきた概念である．
一方，離散的な方程式においては，方程式の特異点構造が常差分方程式の可積分性を完全に支配することが知られているものの，非線形偏差分方程式やそれと密接な関係にある関数方程式の特異点については殆どわかっておらず，これらの方程式における可積分性の普遍的な定義も決定的な特徴も未だに知られていない．
以上の背景のもと，可積分系とみなされる非線形偏差分方程式と関数方程式の特異点構造を明らかにし，その構造が方程式の可積分性と捉えられる特徴にどのような影響を及ぼすかを理解することが本研究の主たる目標である．
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| 研究実績の概要 |
特異点は，数学と理論物理学の多くの分野にまたがる「可積分系」 を研究する研究分野で非常に大きな役割を果たしてきた概念である． 特に，特異点の構造が方程式の可積分性と深く関係することは可積分系に関する長年の研究から明らかになってきた重要な事実である．
その関係についての理解が偏差分方程式の場合に著しく不足している事実を踏まえ，非線形偏差分方程式とそれらと関連する関数方程式の特異点の分類を行うこと， 及び， 方程式の特異点構造とその方程式の可積分性に関する性質との関係を明らかにすること，を本研究の第一目的とする．
また，その研究から得た理解を踏まえて， 非線形偏差分方程式または関数方程式における可積分性を数学的に定義し，方程式の可積分性の判定手段を提唱することをもう一つの重要な目標とする．
令和５年度には上記の課題について以下の重要な研究成果を挙げた．
Universite Paris-Saclay (フランス) の Alfred Ramani と Basile Grammaticos，または東京大学・大学院数理科学研究科の Takafumi Mase との共同研究で， 高次元の双有理写像における特異点の構造と写像の反復合成による次数増大の間の関係を明らかにし，高階の有理的漸化式の力学系次数の新しい計算アルゴリズムを発見した．線形化可能な離散方程式の coupling から得られる高次元の写像の特異点構造と写像の次数増大との関係については既に発表済みの論文は１つあり， もう１つの論文は現在作成中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
偏差分方程式の特異点の構造および特異点同士の相互作用についての研究は順調に進んでおり，可積分なセル・オートマトンとのとても興味深い関係などについての論文は既に出版済みである．
また，2023年に東京大学の数理科学研究科のAlexander StokesとTakafumi Maseとの共同研究で，２次元の双有理写像の次数増大を測るための「full-deautonomisation」手法の代数幾何学的な根拠を明らかにし， full-deautonomisation手法の正当性を双有理写像の割と広いクラスの場合に厳密に示すことができた．
さらに，2024年度の間には様々なクラスの高次元の双有理写像を構成し，それぞれの写像の可積分性を判断し，写像における次数増大のタイプと特異点の構造との関係について幾つかの数学的な予想を立てることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
令和６年度には主に以下のテーマについて研究を行う予定である．
1. 昨年度研究していた写像の coupling のクラスをさらに拡張し，長い歴史を持っている Lame 方程式などの可積分な離散化法を考察する予定である．また，それぞれの couplingで得られる高次元の可積分な写像の保存量及び Liouville 可積分性も考察する予定である．
2. 非線形偏差分方程式に適用できる可積分性判定法の開発に向けて，まず偏差分方程式の簡約で得られる高次元の双有理写像の可積分性判定法を考察する予定である．そう言った判定法のうち，研究代表者らが数年前に提唱した「full-deautonomisation手法」が一つの特に期待できる判定法である．その方法の妥当性を測るため，簡約で適切な高次元の双有理写像を生成し，それらの写像の特異点構造及びfull-deautonomisationを考察する予定である．
3. A. Stokesが2020年に提唱した方法によって遅延型パンルヴェ方程式の特異点構造を調べることが可能となったものの，遅延型パンルヴェ方程式に適用できる代数的エントロピーのような可積分性の判定指標はまだ知られていない．そこで，まず，遅延型パンルヴェ方程式に対し，方程式の特異点構造に基づいて計算できる可積分性指標を考案し，その指標を偏差分方程式の簡約などで得られる常差分方程式の代数的エントロピーと関係づける．
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