| 研究課題/領域番号 |
23KJ0293
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
長田 祐輝 埼玉大学, 理工学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-25 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2025年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2024年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2023年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 変分問題 / 特異摂動問題 / 3波相互作用 / 非線形シュレディンガー方程式 / 凝集現象 / 解の多重度 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に付随する定常問題に対して、解の存在および漸近挙動を考察する。特に、拡散係数を0に近づけたときの解の存在および凝集現象を調べる特異摂動問題を考え、解の形状や凝集場所が何で決定されるのかを明らかにする。さらに変数係数の極小点に凝集する解の存在および凝集現象についても考察する。極小点から離れるとエネルギーが高くなるように方程式に付随する汎関数を修正することで極小点に凝集する解を捕まえる。2種のシュレディンガー方程式に対する研究は盛んだが、3波相互作用モデルに対する変分問題の数学解析はまだ十分になされていないため、新たな解析手法の開発を目指す。
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| 研究実績の概要 |
埼玉大学の佐藤洋平氏との共同研究では3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に対してポテンシャルから定まる位置決め関数と呼ばれる関数の極小点に凝集する解の構成に成功した。単独の方程式に対するdel Pino-Felmerの結果から着想を得て、非線形項と相互作用項を修正した。非線形項の修正はdel Pino-Felmerと同様だが相互作用項の修正は我々のオリジナルである。また、従来3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系では技術的な理由により非線形項のべきを2以上にする必要があったが、本研究ではこの困難を打開し非線形項のべきが2よりも小さい場合にも解を構成することに成功した。この結果は論文としてまとめて学術雑誌に投稿中である。
早稲田大学大学院生の木下智晴氏との共同研究では3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に対して解の多重度に関する研究を行った。この方程式系では付随する汎関数が3波相互作用項の影響でevenにならない。evenな汎関数に対して適用できるRabinowitz(1986)によるgenus theoryを用いた一般論が適用できず解析に困難が生じた。そこで我々は2つの成分にだけマイナスをつけるという操作に関して汎関数が不変になることに着目し、Sato-Wang(2013)の一般論に落とし込み解の多重度に関する結果を得ることに成功した。この結果は論文としてまとめて学術雑誌に投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に対するポテンシャルから定まる位置決め関数の極小点に凝集する解の構成は当初の研究計画に含まれているためおおむね順調に進んでいると言える。
また当初の研究計画には含まれていなかったが3波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に対して解の多重存在に関する結果を得ることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
連立非線形シュレディンガー方程式系に対する変分問題において、最近、海外の研究者と共同研究を開始し、点相互作用をもつ連立非線形シュレディンガー方程式系に対して解の存在等を考察している。単独の方程式に対する既存の研究が多い中、本研究では連立方程式において片方の成分にだけ点相互作用項を付け加えた方程式を考え、その偏りがどのように解の存在証明に困難さをもたらすのか、また既存の結果と比較してどのような点で点相互作用を付け加えた効果が表れるのかを解明することを目指す。
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