| 研究課題/領域番号 |
24K00535
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
小区分12030:数学基礎関連
合同審査対象区分:小区分12030:数学基礎関連、小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
保國 惠一 筑波大学, システム情報系, 助教 (90765934)
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| 研究分担者 |
今倉 暁 筑波大学, システム情報系, 准教授 (60610045)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 准教授 (60707743)
相原 研輔 東京都市大学, 情報工学部, 准教授 (70735498)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2029-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
18,850千円 (直接経費: 14,500千円、間接経費: 4,350千円)
2028年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2027年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2026年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2025年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2024年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 微分作用素 / 固有値問題 / 複素モーメント / 精度保証 / 正則化 / 数値計算アルゴリズム / 数値解析 / 数値代数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
作用素・関数を伴う数理問題に対して、行列・ベクトル演算を基盤とする数値線形代数における数値計算アルゴリズムを転用し、作用素・関数を計算機上で直接扱う数値的に安定で効率の良いアルゴリズムを設計し、理論的な正当化を与え、その数理的・実際的な性質・性能を理論および実験により明らかにする。本研究を通じて、行列・ベクトルに対する数値解法を自然にまたは適切な修正の上で拡張可能な作用素・関数を伴う数理問題を明らかにする。数値線形代数分野および数値解析分野で培われてきた高速、安定、頑健なアルゴリズムを設計する技術を統合することで初めて可能になる、作用素・関数に対する数値計算アルゴリズムの基盤を創出する。
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| 研究実績の概要 |
本課題の目的は、数値線形代数の手法を応用して作用素や関数を計算機上で扱った、効率的かつ数値的に安定なアルゴリズムを設計・検証することである。本目的に沿って、以下の成果を得た。
無限次元Hilbert空間における微分作用素の固有値問題に対して、以前行列向けに考案した複素モーメントを用いた射影法に基づき、新しい精度保証付き数値計算法を考案した。複素モーメントは、複素平面内の指定領域内・外の固有値に関する項に分離でき、領域内の固有値に関する項で構成されるHankel行列固有値問題は所望の固有値をもち、領域外の固有値に関する項は数値積分の打切り誤差に相当することを示した。打切り誤差はKrylov-Weinstein上界および超幾何関数を用いて評価した。各積分点に関する作用素の線形方程式の求解における誤差に対しては、残差と積分点を用いた評価式を得た。これらすべての誤差を厳密に計算できる区間演算向けの評価式を得た。特に、Mathieu固有値問題およびSchrodinger固有値問題に対する数値実験により、本手法の妥当性を検証した。本成果を論文にまとめ、学術論文誌への投稿に向けて準備中である。
本手法の並列実装に向けて、行列固有値問題に対する複素モーメントを用いた精度保証付き数値計算法の実装および実験評価を行った。その他には、非適切問題に対する非一致な投影・逆投影をもつ線形方程式系に対するKrylov部分空間法による特異ベクトル空間の近似精度の評価、有限集合上での最適輸送問題に対するBregmanダイバージェンスによる正則化を用いた誤差評価等の成果を得た。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
作用素の固有値問題に対する精度保証付き数値計算法の開発に想定以上の進捗があり、成果をまとめて論文を準備している段階である。その一方で、作用素の方程式に対するKrylov部分空間法の設計に遅れが生じている。総合すると、本研究はおおむね順調に進展している状況にある。
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| 今後の研究の推進方策 |
十分な進捗がなかった作用素の方程式に対するKrylov部分空間法の設計を残差スムージングの適用も併せて進め、アルゴリズムの解析を当初計画していたように進める。実問題に対する数値実験に向けて計算機実装を進め、アルゴリズムの性質・性能の定量的な評価を行い、理論的な理解の進展を促進する。
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