| 研究課題/領域番号 |
24K00538
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
小区分12030:数学基礎関連
合同審査対象区分:小区分12030:数学基礎関連、小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 一橋大学 |
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研究代表者 |
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
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| 研究分担者 |
土屋 卓也 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 招へい研究員 (00163832)
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
劉 雪峰 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (50571220)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 准教授 (60707743)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)
2027年度: 4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2026年度: 4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)
2025年度: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2024年度: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
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| キーワード | 有限要素法 / 誤差評価 / 補間誤差解析 / 精度保証付き数値計算 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
有限要素法は、理学や工学に現れる諸問題の数値計算に広く用いられており、その誤差解析は重要な課題です。また、精度保証付き数値計算でも、有限要素法の誤差解析は本質的な役割を果たしています。既存のほぼ全ての誤差評価は、関数補間の誤差評価を元にしており、有限要素法のメッシュ分割に悪い形の要素が一つでも存在すると評価が悪くなってしまいます。しかし、数値計算結果からは、少数の悪い形の要素は精度に悪影響を与えないことが示唆されています。そこで本研究においては、補間誤差解析と有限要素法の誤差解析のギャップを埋めることにより、悪い形の要素の存在を許容しつつも、その影響を極力排した効率の良い誤差評価を実現します。
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| 研究実績の概要 |
小林健太（研究代表者）と土屋卓也（研究分担者）は、潰れた要素を含む有限要素解の誤差評価について研究を行った。前年度までの研究で、ある特定の条件下では、三角形要素の一部が潰れても有限要素解の精度が悪化しないということがわかっていた。本年度においては、そのような現象をより一般的な枠組みで証明することに注力した。その結果、潰れた三角形が仮想的に良い要素でカバーされ、さらに悪い要素が特定の配置にならないという条件下で、有限要素解の精度が悪くならないことを証明することができた。本研究について海外で研究成果発表を行ったところ、同様の研究が他の研究グループでも行われていることがわかったが、我々の結果は他の研究グループの結果よりも応用範囲が広いことが明らかになった。研究結果はApplications of Mathematicsに掲載された。
高安亮紀（研究分担者）は、高次元半線形放物型偏微分方程式の解を大域的に精度保証することに成功した。本研究では空間方向の離散化にFourier級数展開を用いているが、有限要素法による離散化を用いる場合には、小林・土屋の結果と合わせて効率化を実現できる可能性がある。
渡部善隆（研究分担者）は、楕円型線形作用素の逆作用素ノルム評価について研究を行い、精密化に成功した。この研究は、小林・土屋の研究結果であるメッシュ形状の制限の緩和と合わせると楕円型偏微分方程式に対する精度保証の効率化に寄与する可能性がある。また、渡部と小林は、特異項を持つ無限次元線形作用素に対するBunger Rum理論による精度保証付き逆作用素ノルム計算についても研究を行い、逆作用素ノルムの効率的な評価を導くことに成功した。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
潰れた三角形を含んだメッシュ上の有限要素解の誤差解析など、当初に想定した研究成果が得られ、その結果を国際学会で発表することもできた。このように、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究によって、有限要素解の誤差評価について、新たな手法の開発やその理論的な裏付けの研究などが進展してきたので、それらの成果を元に、理論面、応用面ともに、研究代表者および研究分担者で連携を取りながら研究を推進していく。
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