| 研究課題/領域番号 |
24K00539
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
小区分12030:数学基礎関連
合同審査対象区分:小区分12030:数学基礎関連、小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 教授 (00362583)
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| 研究分担者 |
川越 大輔 京都大学, 情報学研究科, 助教 (30848073)
大石 直也 京都大学, 医学研究科, 准教授 (40526878)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
18,200千円 (直接経費: 14,000千円、間接経費: 4,200千円)
2027年度: 5,070千円 (直接経費: 3,900千円、間接経費: 1,170千円)
2026年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2025年度: 6,760千円 (直接経費: 5,200千円、間接経費: 1,560千円)
2024年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
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| キーワード | 逆問題 / 医用イメージング / トモグラフィ / 数理モデリング / 数値解析 / 数値的不安定性 / 輸送方程式 / 数値計算 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
断層撮影法（トモグラフィ）は，エックス線CTなどの基礎理論・技術であり，医用・産業などで，撮影対象を破壊することなく内部をイメージングする手法として活用されている．従来はエックス線のような直進する信号をもちいた手法が成功を収めており，画像処理・データ科学の手法により高精度化が進められている．本研究では，近年，成功例が報告された輸送方程式に基づく手法に数学的・数値的な視点から取り組み，従来手法とは根本的に異なる境界積分をもちいる手法で散乱する信号を捉える新たなトモグラフィの基礎理論を構築する．
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| 研究実績の概要 |
領域内部のベクトル場の断層撮影のためのドップラートモグラフィの手法を提案し，幾つかの設定で数値実験によりその実効性を確認した．ドップラートモグラフィは，例えば対象領域内に流速などのベクトル場を直接観測できない場合に，その周囲から信号を照射して反対側で観測することで，内部のベクトル場を回復するものである．従来から幾つか手法が知られていたが，その多くはエックス線断層撮影法，すなわち数理モデルとして数値積分を利用し，ラドン変換に帰着させてソレノイダル場のみを再構成するものが主流であった．一方提案手法はラドン変換を用いず，微分方程式である輸送方程式を数理モデルとして採用し，A-analyticity をもちいることが数学の視点から新規なものであり，またソレノイダル場と保存場の両方を再構成可能であるという特徴も併せ持つものである．さらに先行研究と合わせて，数値的手法の解の一意存在も理論的に証明し，手続きの一部ではあるが典型的な不安定性をもつとされる部分についても連立一次方程式に帰着し，その条件数が分割数に対して高々線型に増大する手法に帰着させ，一定程度の安定性を確保する手法となった．またラドン変換に基づく最新の手法で数値実験において再構成誤差が極めて大きくなるものがあったが，その原因が手法に依存するためか問題そのものがもつ不安定性に起因するものかが不明であった．本研究における数値実験でも同様の傾向が見られた．すなわち再構成に含まれる誤差が極めて大きくなった．全く異なる手法で同様の傾向が見られたことから，ドップラートモグラフィそのものが強い不安定を有することが示唆され，この一連の結果を逆問題の代表的な国際誌にて発表するとともに，学会においても口頭発表した．
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
初年度の計画通り，ドップラートモグラフィについて検討し，従来手法と全く異なる新たな手法の提案と数値実験に成功した．また従来手法と異なることから，再構成手法に依存しせず，ドップラートモグラフィそのものの性質を調べる道筋を開いた．以上のことから「概ね順調に進展している」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
初年度は概ね予想通りの結果が得られ，数値的再構成における最大の困難点である不安定性も判明しつつある．そこで，次年度はふたつのことに取り組む．まず，従来のドップラートモグラフィは数値積分を数理モデルとしているため大域的な情報を必要としていたが，本手法は境界の一部での観測から再構成し得ると考えられる．そこで，境界全体での観測ではなく，一部で観測するモデルからの再構成を整理する．次に，不安定性について構造が明らかになりつつあるが，これをより精密に評価し，不安定性の根本的な原因を突き止める．その状況によって不安定性を回避する先行研究についても情報を収集し，可能な対策を検討して再構成の安定化を目指す．
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