| 研究課題/領域番号 |
24K06732
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2026年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 仮想結び目 / 結び目ホモロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目補空間の基本群にメリディアンの情報を取り入れた結び目カンドルは1次元結び目の完全不変量であることが知られ2次元結び目などへも適用範囲を拡げている。結び目フレアーホモロジー、Khovanovホモロジーなどの圏化不変量は1次元結び目の完全不変量でないことが知られ2次元結び目などへ適用範囲を拡げる試みは成功していると言えない。結び目接触ホモロジーは圏化不変量と異なり、メリディアンの情報を取り入れると1次元結び目の完全不変量を与えることが知られている。この接触ホモロジーの適用範囲を2次元結び目などへ効果的に拡げることを遂行する。
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| 研究実績の概要 |
結び目を拡張する概念として仮想結び目が提案されている。仮想結び目に対して彩色という概念がCheng氏により定義され、仮想結び目の不変量を構成するために利用されていた。これと似た概念である高さという概念を仮想結び目に定義し、仮想結び目に既に定義されていた不変量であるKauffman多項式と同様の構成方法を実行すると、元のKauffman多項式よりも強力な不変量が得られることが分かった。例えば従来のKauffman多項式は自明な結び目とKishino結び目と呼ばれる仮想結び目とを区別できないことが知られているが、今回構成した不変量はこの2つの仮想結び目を区別できることが分かった。しかし3種類定義できるKishino型結び目のうち、この不変量は2種類を区別できないことが分かり、どの程度強力であるかについてはまだ分かっていない。
従来のKauffman多項式からは圏化としてKhovanovホモロジーがFrobenius代数を使って得られることが知られている。この構成を真似て新しい不変量から圏化としてホモロジー不変量を構成することを考えてみると、Frobenius代数だけでは不充分であることが明らかになった。圏化に必要な代数を構成することについて考察をすすめている。仮想結び目の高さに対応するものを1次元結び目に対して構成するために、カンドルを使うことを考えている。しかし非自明な不変量を構成できるカンドルを見つけることがまだできていない。今後は仮想結び目に定義した高さという概念を仮想結び目の結び目接触ホモロジーの構成に取り込むことを計画している。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
高さという概念を使って仮想結び目の新しい不変量を構成することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
仮想結び目に対して定義した新しい不変量がどの程度強力な不変量であるか調べるため具体例の計算を実行していく。
仮想結び目の新しい不変量から圏化としてホモロジー不変量を構成するために必要な代数について調べていく。
結び目接触ホモロジーを初めとする結び目不変量の構成にカンドルを取り入れることについて考察をすすめる。
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