| 研究課題/領域番号 |
24K16946
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
鶴見 裕之 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 講師 (60990249)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2029-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2028年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2027年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | Navier-Stokes方程式 / Hall-MHD方程式 / 定常解 / 偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
時間による流量・流速の変化がない定常流体の挙動を記述するモデルである定常ナビエ・ストークス方程式の適切性（与えられた外力に対する解の存在性、一意性、ならびに連続依存性）および非適切性に関する研究を行う。適切性については関数空間論の再考を通して必要な非線形項の評価を行うほか、非適切性については自身や他の研究者による先行研究で用いられた反例を検証・修正して結果の一般化を図る。一方でHall効果を伴う磁気流体方程式なについても同様に考察し、ナビエ・ストークス方程式の場合との比較を行う。先行研究の一般化と他方程式への応用を同時並行的に進め、定常流体方程式の適切性・非適切性に関する一般理論を構築する。
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| 研究実績の概要 |
本年度においては、2次元定常Navier-Stokes方程式の適切性（一意可解性および既知外力に対する解の連続的依存性）、およびHall項を伴う磁気流体方程式（Hall-MHD方程式）の定常解に関する研究を行った。
2次元定常Navier-Stokes方程式については藤井幹大氏（名古屋市立大学）と共同で、一様流周辺の解が異方的なBesov型の関数空間の枠組みで一意的に存在することを示した。これは先行研究が少ない2次元全空間における同方程式の可解性に関する研究を進展させるものである。本結果については2025年度日本数学会年会、および各地の大学で開催されたワークショップで発表を行い、偏微分方程式分野の研究者と意見交換を行った。また本結果は2024年度に国際雑誌「Mathematische Nachrichten」に掲載された。
一方Hall-MHD方程式の定常解についてはXin Zhang氏（中国・同済大学）・Jin Tan氏（中国・香港中文大学）と共同で、Besov空間において適切性・非適切性に関する研究を行った。概ね3次元定常Navier-Stokes方程式で用いられた手法を応用できたほか、本研究により本方程式の適切性の条件がHall項がない場合よりも厳しくなることを量的に明らかにした。さらに本研究の中で、特に磁場がゼロの場合（定常Navier-Stokes方程式）において、研究代表者が以前に示した非適切性の結果をさらに一般化し、適切性と非適切性の境目をより明確化することができた。本研究結果については2024年度日本数学会秋季総合分科会において発表を行った。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
2次元定常Navier-Stokes方程式の一様流周りでの適切性の結果については国際雑誌にも掲載されたほか、国内外の研究者からも一定の評価を得た。さらに本結果は本方程式研究の基礎部分を形作るものであり、次年度以降さらに発展を見込むことができる。
一方定常Hall-MHD方程式についても更なる発展を見込めるような基礎理論を作り上げることができたほか、3次元定常Navier-Stokes方程式について適切・不適切が不明であった関数空間において詳細な研究成果を上げることができた。
また本年度での研究成果を踏まえて次年度に向けてより具体的な研究計画を設定することができ、今後も定常問題に関して更なる研究の進展を見込んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
定常Navier-Stokes方程式の解の性質や、定常解と非定常Navier-Stokes方程式の時間発展解との関係性について、主にBesov空間の枠組みで考察を行う。
まず定常解の性質については、その空間遠方での減衰率を前年度の研究で用いた異方性空間における解表示を応用することで具体的に求める。その後、一般に広く用いられる等方性空間において同様のことが成り立つかを検証する。
一方、一般に時間発展解の時間極限として定常解が得られることに着目し、定常問題が非適切であるような関数空間で考えた場合には時間発展解がどのような挙動を示すかを考察する。これについては２次元の場合と３次元の場合に分けて研究を行っていく。
また別の課題として、研究代表者が以前に示した回転流周りの2次元定常Navier-Stokes方程式の古典解の一意存在性の結果について再考し、関数解析の手法を用いて解の一般化を図る。また前年度の一様流周りの結果と統合する形で、より一般的な特解周りでの適切性に関する理論を構築できるかどうかも検証していく。
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