| 研究課題/領域番号 |
24KJ1085
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京科学大学 |
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研究代表者 |
石塚 伶 東京科学大学, 理学院, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-23 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
2,400千円 (直接経費: 2,400千円)
2026年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2025年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2024年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | 混標数可換環論 / パーフェクトイド環 / プリズム理論 / パーフェクトイド塔 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
体上の代数幾何学への応用から始まった可換環論は、ネーター性というある種の有限性を持つ環の構造解析を研究の中心とする。一方で、混標数代数幾何学ではパーフェクトイド理論を用いるため、その基礎となる対象が非ネーター環になることが多い。その際既存の可換環論が適用できず、複雑な環構造を捉えきれない。
本研究ではこのような環の構造を概環論（almost ring theory）を用いて明らかにする。特に概ネーター環というクラスについて基礎理論を構築し、それを混標数特異点論へ応用する。
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| 研究実績の概要 |
本研究では、概環論を応用するために、まず混標数代数幾何学（正標数と標数0の両方の性質を持つ代数幾何学）に現れるパーフェクトイド環の性質と応用について研究を行った。Dimitri Dine氏との共同研究により、パーフェクトイド環とその正標数への遷移である「tilt」について、それぞれのアファインスペクトラムの特定の部分空間が同相になることを証明した。Dine氏の先行研究ではこの結果は有理数体を含んだ有理パーフェクトイド環についてのみ証明されており、さらにその証明は既存の同相写像の存在に依拠していた。一方で我々が与えた同相性は先行研究とは独立に証明され、かつより一般的に整パーフェクトイド環で成り立つ。これはパーフェクトイド環の性質が混標数と正標数の間で遺伝する現象に対して、新しい幾何学的解釈を与えるものである。
また、可換環論へパーフェクトイド理論を応用するための「パーフェクトイド塔」（特定の性質を持つ環の階層構造）の理論と、「プリズム」と呼ばれるパーフェクトイド環の一般化の間の関係性を研究した。特にプリズムからパーフェクトイド塔をシステマティックに構成する方法を開発した。今まではパーフェクトイド塔を持つネーター環は（対数的）正則局所環などしか知られていなかった。今回の結果によって遥かに多くのパーフェクトイド塔を構成することに成功した。Stanley-Reisner環やアファイン半群環など組合せ論に現れる可換環がパーフェクトイド塔を持つことも証明したため、この理論をさらに可換環論の他の分野へ応用する道も開かれた。
その過程で、これら数論的な理論に用いられるホモトピー論を可換環論に応用する研究も進めることができた。具体的には、導来剰余と呼ばれる操作によって精密に剰余環を扱うことで完全交叉環で証明されていた加群の持ち上げの問題を一般化した。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
概環論の研究を進める前にパーフェクトイド環に関する問題を共同研究者とともに解決できることに気づき、そちらを先に行った。また、パーフェクトイド塔への概環論の応用を探る中でプリズム理論との関係を発見した。とくに既存の具体例を超えて、特異性を持つ多くの具体例を一挙に構成できることがわかった。結果として、より高い視点から両理論の関係性を明らかに出来た。当初の研究計画と順序が前後しているが、全体的には順調に進展していると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は正標数から現れる混標数代数多様体についてより詳しく見ていく。そのために正標数代数多様体のフロベニウス写像込みの持ち上げの理論を新たに定式化する。さらにより数論的な問題として、概環論を用いて定式化された混標数Riemann-Hilbert対応を用いた特異点の特徴づけやパーフェクトイド化に用いられるプリズマティックコホモロジーの構造解析も進める予定である。
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