圏論的手法による可換環上の加群の研究

• 研究課題/領域番号: 26287008
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 一部基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 岡山大学
• 研究代表者: 吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (00135302)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2018年度)
• 配分額: 9,880千円 (直接経費: 7,600千円、間接経費: 2,280千円); 2018年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2017年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2016年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2015年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2014年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
• キーワード: 導来圏 / 三角圏 / Cohen-Macaulay 加群 / 次数付き微分加群 / 非有界複体 / 安定圏 / シジジー / DG代数とDG加群 / 代数学 / 可換環論 / 鎖複体

研究成果の概要

２０世紀の中頃にホモロジー代数という当時としては新しい数学が芽生えました。その理論が確立される過程において予想という形で提案された多くの問題が今も未解決のまま残っています。２１世紀に入ると圏論的手法が導入されることが多くなり、それらの問題も圏という枠組みで捉えられるようになりました。予想の多くは有限生成、すなわち有限個の元とそれらの間の有限個の関係式で与えられるような代数的対象を問題としています。しかしながら本研究では、これらを一旦「無限にまで延長して」、一般導来圏という巨大な圏に拡げて問題を考察して、有限の場合の結果を導出することに成功しました。

研究成果の学術的意義や社会的意義

数学の基礎研究であるので特に社会的意義を主張するには及ばない。しかしながら学術的には、半世紀以上未解決であった代数学の問題に対して、それを解決するための糸口が掴めたという点では大きな学術的意義があると考えている。
とくに今回の研究の全般を通して行った導来圏やホモトピー圏などの研究は、問題の解決という意図とは別に、それ自体が数学的に美しい体系を提供しているように思っている。

研究成果

• [国際共同研究] American Institute of Mathematics/Georgia Southern University(米国)
• [国際共同研究] Georgia Southern University(米国)
• [国際共同研究] American Institute of Mathematics(米国)
• [雑誌論文] Degenerations over (A∞)-singularities and construction of degenerations over commutative rings (2019)
  • 著者名/発表者名: Hiramatsu Naoya、Takahashi Ryo、Yoshino Yuji
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 525 ページ: 374-389
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.12.031
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Primary decompositions in Abelian R-categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Kenichi Sato and Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Mathematical Journal of Okayama University 巻: 60 ページ: 91-108
  • NAID: 120006469110
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Noncommutative resolutions using syzygies (2018)
  • 著者名/発表者名: Dao Hailong、Iyama Osamu、Iyengar Srikanth B.、Takahashi Ryo、Wemyss Michael、Yoshino Yuji
  • 雑誌名: Bulletin of the London Mathematical Society 巻: 51 号: 1 ページ: 43-48
  • DOI: 10.1112/blms.12210
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] A local duality principle in derived categories of commutative Noetherian rings (2018)
  • 著者名/発表者名: Tsutom Nakamura and Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 222 号: 9 ページ: 2580-2595
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2017.10.008
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Weak liftings of DG modules (2018)
  • 著者名/発表者名: Saeed Nasseh and Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 502 ページ: 233-248
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.01.024
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Localization functors and cosupport in derived categories of commutative Noetherian rings (2018)
  • 著者名/発表者名: Tsutom Nakamura and Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Pacific Journal of Math. 巻: 296 号: 2 ページ: 405-435
  • DOI: 10.2140/pjm.2018.296.405
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Primary decompositions in Abelian R-categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Kenichi Sato, Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Mathematical Journal of Okayama University 巻: 60
  • NAID: 120006469110
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] An Auslander-Reiten principle in derived categories (2017)
  • 著者名/発表者名: Ono Maiko、Yoshino Yuji
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 221 号: 6 ページ: 1268-1278
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2016.09.009
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] A remark on vanishing of chain complexes (2015)
  • 著者名/発表者名: Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Acta Mathematica Vietnamica 巻: 40 号: 1 ページ: 173-177
  • DOI: 10.1007/s40306-015-0121-4
  • 査読あり
• [学会発表] The homotopy category of unbounded complexes of projective modules (2018)
  • 著者名/発表者名: Yuji Yoshino
  • 学会等名: Workshop “Stable Cohomology: Foundations and Applications” at Snowbird, Utah
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Sable complex theory (2017)
  • 著者名/発表者名: Yuji Yoshino
  • 学会等名: 京都大学数理解析研究所共同研究第３９回可換環論シンポジウム
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] AR principle と local duality の一般化について (2016)
  • 著者名/発表者名: 中村力、吉野雄二
  • 学会等名: 第28回可換環論セミナー
  • 発表場所: 岡山理科大学
  • 年月日: 2016-01-24
• [学会発表] The principle of Auslander-Reiten duality (2015)
  • 著者名/発表者名: Maiko Ono, Yuji Yoshino
  • 学会等名: 第37回可換環論シンポジウム
  • 発表場所: 倉敷シーサイドホテル
  • 年月日: 2015-11-18
• [学会発表] A little more about Auslander-Reiten duality and conjecture for MCM (2015)
  • 著者名/発表者名: Yuji Yoshino
  • 学会等名: Conference on ｄerived categories of finite dimensional algebras
  • 発表場所: 静岡大学理学部
  • 年月日: 2015-09-11
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] *torsion free and *reflexive complexes (2014)
  • 著者名/発表者名: Yuji Yoshino
  • 学会等名: Commutative Algebra and Singularity Theory
  • 発表場所: 立山国際ホテル（富山県）
  • 年月日: 2014-07-28 – 2014-08-01
  • 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] 第37回可換環論シンポジウム (2015)
  • 発表場所: 倉敷シーサイドホテル
  • 年月日: 2015-11-18