| 研究概要 |
複素コークッド空間【C^n】の領域D(t)が複素助変数t(∈B)と共に、函数論的に自然に歪曲しながら、変化しているとしよう。今、各D(t)は原点0を常に含んでいると仮定しよう。このとき、D(t)の0に極をもつグリーン関数G(t,z)が、一意的に定まる。0のちかくではG(t,z)=1/(||Z||)+λ(t)+H(t,z)
但し、λ(t)は定数項、H(t,z)はZの調和函数でH(t,0)=0と表わせる。このλ(t)はD(t)はロバン定数とよばれて、電磁気学での容量に対応するもので、重要な量である。我々は次の主定理を得た。
直積空間B×【C^n】の領域{(t,z)∈B×【C^n】1t∈B,z∈D(t)}が擬凸状域ならば、λ(t)はtについてBでの優調和函数である。
これを用いて、任意の滑らかな境界を有する擬凸状領域D(⊆【C^n】)に、函数論的なケーラー計量を具体的に作った。その応用は今後の課題である。
次に、【C^n】を複素多様体Mに拡張した場合に、同様の考察を行った。そして、Mのケーラー計量【dλ^2】については、同様の結果が成立することを見た。このことは大きな展望を広げたように思える。例えば、一例として、等質空間でのレビの問題(ミッシェルの定理)に新たな視点を与えた。また、【C^n】での領域のロバン定数が古典電磁気学に関係した如く、Mでの領域のロバン定数は、電磁気学を量子論的に見たときのものに関係しているのではないかと思える。新しい研究問題を提供したように思う。
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