| 研究概要 |
計量構造と位相構造について酒井は1984年に総合報告「Comparison andFiniteness Thearems in Riemannian Geometry」を出版した。そこでも触れたが、M,グロモフによる一連の研究がこの方面の研究者達に大きな影響を及ぼしつつある。これに関連して以下の研究を行った。
1,リーマン多様体Mの単射半径【i_M】の評価は、球面定理等大域リーマン幾何学で重要な役割りを果し、グロモフの収来定理でその意味がより明らかになっている。正曲率リーマン多様体の構造に関し、単連結コンパクトリーマン多様体の曲率K6がS【<!=】K6【<!=】1をみたす時の【i_M】の評価が重要である。酒井はクリンゲンバーグ氏と共にS【>!=】1/4ならばiM【≧!=】Πを示した。S<1/4でもSが1/4に近ければiM【>!=】Πが成り立つと予想されるが、グロモフの収来定理を逆に用いてこの予想の部分的解決を得た。これはボン大学クリンゲンバーグ氏との協同研究である。
2,グロモフの一連の仕事は非常に難解で、その組織的な検証が必要である。東大の落合氏とグロモフの仕事についての総合的な研究集会を計画し、1986年7月東大でSwrveys in Geomentry-「Gromovと幾何学」として一週間に渡って開催し盛会であった。この研究会の報告集を若い人達の協力を得て作成した。酒井は「Gromov入門」としてその基本的なアイデアや重要な結果について解説した。(257頁)。
3,単連結でない曲面上リーマン計量を一つ与える時、その面積を可縮でない最短閉測地線の長さの平方で割った量を対応させる。この量的最小値と最小値を与えるリーマン計量が何かという問題を検討中である。クラインのつぼの場合のC.ババールの結果の別証明を得、現在種数2の曲面の場合について考察中である。
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