| 研究分担者 |
樋口 保成 神戸大学, 理学部, 助教授 (60112075)
西尾 真喜子 神戸大学, 理学部, 教授 (80030758)
下村 俊 神戸大学, 自然科学研究科, 助手 (00154328)
高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678)
山田 直記 神戸大学, 理学部, 助手 (50030789)
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| 研究概要 |
本研究において、(1)確率ゲームと関連した非線形2階楕円型偏微分方程式として、その最も簡単な形の方程式(E)u-△u+H(Du)=f(x)。ここに△=【Σi^N】=1,【δ^2】/δ【X(^2-i)】,D=(δ/δ【X_1】・・・δ/【δX_N】)の全域解を考察し、その存在及び一意性について次の結果を得た:
H:【1R^N】→【1R^1】は連続関数とする。このとき、任意のf←UC(【1R^N】)ここにUC(【1R^N】)は【1R^N】上で定義された有界かつ一様連続な関数の全体から成る関数空間を表す、に対して粘性解u←UC(【1R^N】)が一意的に存在する、更に、粘性解uは、|X|→∞のとき高々1次の増大度をもつような連続関数の空間において一意的である。
本研究の主要な成果はこの後者の粘性解の一意性に関する結果である。われわれは、非線形項H=H(p)に連続性以外に何等仮定を置くことなく、非有界な(E)の全域解の一意性に関して、f←UC(【1R^N】)ならば、|X|→∞のとき高々1次の増大度をもつような連続な粘性解は一意的であることを示すとともに 解の増大度に関して何等制限を置かなければ (E)の全域解の一意性が成立しない場合があることを実例によって示すことができた。
以上の成果は、非線形2階楕円型偏微分方程式の粘性解に関する今後の研究に一つの指針を与えたということができる。
(2)確率微分ゲームと関連した非線形2階楕円型偏微分方程式系min{max{【A^p】【u^p】-【f^p】,【u^P】-【M^p】u}、【V^p】-【m^p】u}=0,【A^p】:楕円型微分作用素p=1,2,・・・,m,に対するDirichlet問題を考察し、適当な制限条件のもとで、Lipschitz連続な粘性解が存在すること並びに粘性解は連続関数のクラスで一意的であることを示した。
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