| 研究概要 |
複素多変数Vekua関数の満足する一階偏微分方程式(R-線形)を更に一般化した半線形連立【~!〓】方程式
(1) 【~!〓】w=f(z,w)を【C^n】の開集合G上で考察する。こゝにf(z,w)はG×Cにおける無限回連続微分可能な(o,l)型のZ=(Z1,Z2,…Zn)に関する微分形式で、f(z,o)Ξo(Gで)を満たしている、領域ΩCGにおける(1)の非自明解w(z)が次のような新しい連立偏微分方程式の系をみたしていることに留意する:
(2) 【f!~】wΛ〓w=【〓_z】【f!~】+【f!~】Λ【f!~】【~!w】,(3) f【~!w】Λ【〓!~】w=-fΛf【~!w】,(4) f【~!w】Λ【〓!~】【f!~】wΛ〓w=α,αは(2,2)型のΩにおける微分形式で、wの位置にw(z)を代入している。
さて、ある適当な条件の下に、一つの特別な局所1対1解析的変換Φを用いて(1)〜(4)を変数ξ=(【ξ_1】,【ξ_2】,…【ξ_n】)に変換し、一つのξjに関する半線形【〓!~】方程式と他の【ξ_k】(k≠j)に関する正規な全微分方程式にすることができる。この方程式系から解w(z)の関数論的性質:(【i】) 解の零点集合はΩの解析的集合 (【ii】)【Ω!~】がコンパクトなGの部分集合で、境界〓Ωが十分滑らかならば有界な解wはΩで複素解析関数〓(z)に相似である(即ち w=〓【e^〓】,〓は【Ω!~】でα-Holder連続(α<1/2)な関数となる)等々が導かれる。
上記の局所解析的変換Φは解w(z)に依存するから、Φが解に無関係となる条件を仮定し、さらにΦによって(1)〜(4)を変換した方程式の系の積分可能条件を考慮して(1)の局所解の存在がいえる。かくして局所相似原理の成立と、一様有界な(1)の解の族はコンパクト部分集合の上で一様収束する解の系列を含む(正規族)性質が示される。
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