| 研究概要 |
力学系の変数を複素数に拡張したとき, 力学系がどのように深く理解されるようになるかを考察した. 本研究では, そのため力学系を生成する母関数を考えた. 又初期値に依存する力学系の性質を見るために, 母関数をその初期値で微分した導関数及びそれより高階の導関数もあわせて考えた. 母関数の展開パラメタを複素化し, 母関数の解析的性質から力学系の静的な諸性質が導き出せることを示した. 同時に高次の導関数の解析的性質から, 母関数のそれからでは得られなかった力学系の動的性質, 例えば軌道不安定性, が見い出せることを示した.
母関数に対する関数方程式を調べることにも興味がある. しかし詳しい解析をするまでにいたらず, これからの問題とした. 新たに高次導関数の従う関数方程式も見い出し, 将来の発展が期待される.
また母関数の物理的意味を考えるために, 一次元力学系を新たに増やし, 二次元力学系を考えた. 母関数は, その二次元系のbasin baundaryとして与えられることを示した. さらに関数の零点を求めるニュートン法を力学系とみなし, その収束速度と母関数の収束半径とに何らかの関係があるのではないかと考え, その一例を示しながら考察を行った.
最後に, 力学変数を複素化する考え方を可積分な方程式のソリトン解に応用し, ソリトン間に働く非誄形相互作用について新しい知識が得られた. これは本研究課題と直接関係がないが, 同じ基本思想から訓生したもので, kdv方程式について詳しく議論した.
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