リーマン幾何学の綜合的研究

• 研究課題/領域番号: 63540026
• 研究種目: 一般研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学・幾何学
• 研究機関: 福井大学
• 研究代表者: 黒木 哲徳 福井大学, 教育学部数学教室, 教授 (90022681)
• 研究分担者: 小野田 信春 福井大学, 教育 学部数学教室, 助教授 (40169347) ; 三上 俊介 福井大学, 教育学部数学教室, 助教授 (00126640) ; 土井 幸雄 福井大学, 教育学部数学教室, 教授 (50015765) ; 下村 宏彰 福井大学, 教育学部数学教室, 教授 (20092827) ; 北村 眞一 福井大学, 教育学部数学教室, 教授 (50020079)
• 研究期間 (年度): 1988
• 研究課題ステータス: 完了 (1988年度)
• 配分額: 600千円 (直接経費: 600千円); 1988年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
• キーワード: リーマン多様体 / 測地線 / ポール / 断面曲率 / asymptoticall y flat / Floer Homology / Morse complex / モース理論

研究概要

(1)リーマン多様体上の測地線について
非コンパクト多様体上のポールと測地線に関する前田氏(横浜国大)の定理の拡張を試みた。前田氏の結果は、「非負断面曲率を持つ非コンパクト多様体上のポールの集合をPとする時、Pの半径rは、r≦lo=lim__<t→∞>(D^2_t(P))/tをみたす。」というものである。これに対し、私達の目指した方向は、〈1〉この断面曲率に関する条件を、どれ位弱められるか、〈2〉この不変量loの幾何学的意味と、このloによってコントロールされる測地線の性質を明らかにするこ と、であった。
〈1〉に関しては、U.Abreschの導入したasymptotically flat manifoldにまで、拡張出来るという見込みが立ち、現在、証明をすゝめているが、完成をみていない。
〈2〉に関しては、田中氏(東海大)の研究があり、これらを詳細に検討したが、現段階では、田中氏以上の結果は、得られていない。
(2)Lagrangian intersectionについて
この研究費のおかげで、Floer Homologyに関する研究会に、たびたび出席出来たのは収穫であった。これは、従来のMorse complexに対するHomologyに対応するものとして、昨今脚光を浴びている。特に、代表者の従来からの研究方法である無限次元モース理論の応用がこのところその有用性が、Floer Homologyの登場等で見直されており、従来では、評価の出来なかった細かいところまで出来るのではないかと期待し、今後の研究への一つの指針を得れるのではないかと思っている。具体的には、〈1〉測地線に関しての四方-Klingenbergの評価と、Floer Homologyの関係を明らかにすること。〈2〉代表者の修士論文で行ったDirichlet問題の解の個数の評価・精密化等を考えている。