| 研究分担者 |
平井 武 京都大学, 理学部, 教授 (70025310)
楠 幸夫 京都大学, 理学部, 教授 (90025221)
池部 晃生 京都大学, 理学部, 教授 (00025280)
大鍛治 隆司 京都大学, 理学部, 助手 (20160426)
松本 和一郎 京都大学, 理学部, 助手 (40093314)
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| 研究概要 |
この研究では、超函数の特異性の位数について、超局所的な定義を与え、その重要な性質を定理としてまとめた。特異性を超局所的に考えるということは、特異性を与える場所と併せてどの方向に特異性があるかを考えることである。応用としてフ-リエ積分作用素を作用させることにより、超函数の超局所的な特異性の位数が、どの様に移り変わるかを論じている。一階の双曲片擬微分作用素に対応する初期値問題の解は初期値により、時間tに依存するフ-リエ積分作用素でP_<φu>の形に表わすことが出来る。ここでP_φは、p(x,y)【element】S°をシンボルとしφ(x,y)を相函数とする作用素である。微小時間tに対してはp(x,y)は1に近く、消えていないとしてよく、この時
OS(Pφu;x,ζ/131)=OS(u;y,ζ/131)
が成立する。ここでOS(u;y,ζ/131)はuのyでのζ/171方向への特異性の位数を表わしている。(x,y)→(x,ζ)への対応は、φを母函数とする正準変換である。即ちy=φ(x,y),ζ=φ_x(x,y)で定義されるものである。最後にOS(u,x_0,ζ_0)についての説明を付け加えておこう。f【element】ε'に対してOS(f)=inf{r【element】R,f【element】H^<-r>}と記し
OS(f;x_0,ζ0温)=inf OS(a(D,X)f)
a【element】S°,(x_0,ζ0温)【element】(supp a)
と定める。(x_0,ζ_0)【element】(supa a)はaがx_0でζ_0方向に消えていないことを意味する。次のダルブ-型の定理がなりたつ。^v>0に対してζ>0が存在してa(【element】S°)の台が(x_0,ζ0温)の孤状δ近傍にある時
OS(f;x_0ζ_0)【less than or equal】OS(a(D,X)f)【less than or equal】OS(f;x_0,ζ0温)+【element】
が成立する。特異性の位数が超局所的に保存される事を示す最初の等式は、最後の不等式がa【element】S°に対して成立する事を使って証明される。
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