| 研究領域 | 次世代物質探索のための離散幾何学 |
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| 研究課題/領域番号 |
20H04642
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| 研究種目 |
新学術領域研究(研究領域提案型)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 審査区分 |
理工系
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2022-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
7,410千円 (直接経費: 5,700千円、間接経費: 1,710千円)
2021年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2020年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
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| キーワード | 変分問題 / ウルフ図形 / 非等方的エネルギー / エネルギー極小解 / 自由境界問題 / 平均曲率 / 平均曲率一定曲面 / 可展面 / 幾何解析 / 離散幾何 / 平均曲率一定螺旋面 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
変分問題を動機とする、結晶(個体)・液晶・液体の全てを統一的に扱う方法を導入するという独創性の高い方法により、離散幾何学と滑らかな幾何学をつなぐ新しい幾何学と変分法を創造・展開する。具体的には以下の研究を遂行する。(1)特異点を持つ超曲面に対する幾何学概念と変分法の有用な理論の構築。(2)非平衡状態からエネルギー勾配流に沿って平衡状態に移行する超曲面の滑らかな変形や位相型の変化を伴う変形の表現手法の構築。(3)離散的配置が成す動的格子構造の変分法的研究。さらに、これらの研究を、複雑な多連続多孔質構造の分類やナノ構造の動的構造形成を含め、材料科学やより広い学問領域・科学技術に応用する。
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| 研究実績の概要 |
曲面の非等方的エネルギーの変分問題は、扱うエネルギー密度関数に応じて、液体・方向性のある液晶・結晶(固体)の全ての場合の最適形状を求めるという課題を与える。さらに、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の計量が正定値とは限らない平均曲率一定（以下ではCMCと略記）超曲面もまた、この種の変分問題の解の例と見做せる。このような一般的な変分問題の解として、滑らかな曲面・カドのある曲面・多面体（あるいは離散曲面）の全てが現れる。解は一般には特異点を持ち、それは頂点・辺やその高次元版、因果型（causal character）が変化する点などである。これらを統一的に扱うことにより、滑らかな微分幾何学や楕円型作用素が支配的な曲面の研究では扱わなかった曲面の解析を行うことになる。これらに関して以下の結果と展望を得た。
非等方的エネルギー密度関数が2階連続的微分可能で凸性を持つ場合について、(n+1)次元ユークリッド空間の楔状あるいは錐状閉領域における超曲面についての自由境界問題のエネルギー極小解の存在と一意性定理を得、学術雑誌での出版が決定した。
(n+1)次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の空間的グラフ及び時間的グラフの平均曲率に対するHeinz型評価、及び、全超平面上で定義された関数のグラフとなっている空間的CMC超曲面及び時間的CMC超曲面が超平面となるための、グラフを定義する関数に対する十分条件を得、学術雑誌で出版した（川上裕氏(金沢大)，本田淳史氏(横浜国立大)，通峻祐氏(輪島高)との共同研究）。
特異点を持つ可展面（平面を伸び縮みさせずに連続的に曲げたり折ったりして得られる曲面）に対するある変分問題の最適解を決定した。この課題については多数の数値計算結果が知られているので、今後は今回得られた理論的な最適解との優位性の比較を行い、特異点を持つ曲面に対する変分法の研究を推進していく。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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