| 研究領域 | 社会変革の源泉となる革新的アルゴリズム基盤の創出と体系化 |
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| 研究課題/領域番号 |
21H05846
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| 研究種目 |
学術変革領域研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 審査区分 |
学術変革領域研究区分(Ⅳ)
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
谷川 眞一 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 准教授 (30623540)
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| 研究期間 (年度) |
2021-09-10 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | シンボリック行列 / マトロイド / グラフ剛性 / テンソル補完 / セカント多様体 / 劣モジュラ関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
要素に不定元を含む行列(シンボリック行列) の正則性判定問題に対する決定性多項式時間アルゴリズムの開発は、理論計算機科学における重要な未解決問題である。本研究では特に、工学システムの構造解析に現れるシンボリック行列に的を絞り、マトロイドや劣モジュラ関数などの離散構造に基づく解析手法を提案する。 さらに計算量理論の枠組みから、工学システムに潜む離散構造を統一的に理解するための離散構造論の確立を目指す。
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| 研究実績の概要 |
工学システム解析に現れるシンボリック行列を統一的に取り扱う枠組みとして、多項式写像のジェネリックな点におけるヤコビ行列の解析法を考察した。この枠組みは、グラフの剛性解析における手法を抽象化したものであり、シンボリック行列の階数計算に対して組合せ剛性理論の組合せ的アプローチを一般化することが可能である。今回の研究では、ヤコビ行列によって定まる行列マトロイドと代数幾何学の古典的話題であるセカント多様体の非退化性との関係を明らかにし、セカント多様体の射影の次元と組合せ的疎性マトロイドとの関係を明らかにした。さらに、グラフの剛性解析において基本的な道具である、グラフ詰め込みやグラフの局所操作に基づくシンボリック行列の解析方法を提案した。
さらに2022年10月に発表されたMassarentiとMellaによるセカント多様体の同定性条件を利用することで、本研究の枠組みが工学システム解析の次元解析だけではなく、同定性解析にも利用可能であることを示した。
また具体的な応用例として、Lp空間におけるグラフ剛性問題や低ランクテンソル補完問題の唯一性などを考察した。これらの問題に対してランダムグラフの剛性解析手法を転用することで、シンボリック行列の平均的な振舞いを解析することに成功した。特に低ランクテンソル補完問題に対しては、ランダムサンプリングによって、低ランク補完が唯一に定まるための十分条件を導出し、既存成果のサンプリング率の改良を行なった。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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