| 研究領域 | 次世代物質探索のための離散幾何学 |
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| 研究課題/領域番号 |
17H06461
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
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| 研究分担者 |
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
五味 清紀 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00543109)
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| 研究期間 (年度) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| キーワード | トポロジー / ゲージ理論 |
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| 研究実績の概要 |
Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。
本研究の第一の目的は、ある設定の下で、指数定理を（１）非線形偏微分作用素に対して、また（２）閉ではない多様体、に対して拡張し、ある種の非線形偏微分作用素に対して解の散乱に相当する現象をトポロジカルに把握することである。ここで（１）としては３，４多様体上のゲージ理論の方程式、（２）としては端のモデルが閉多様体の被覆空間である開多様体が対象である。第一の目的の達成度は、３，４次元多様体のトポロジーにおいて新奇な現象をどの程度捉えられるかによって測られる。一方、近年物性物理におけるトポロジカル相の研究において、相互作用のない場合にはトポロジカル相の特徴づけのために「指数」の概念の一般化が有効であることが広く認識されている。本研究の第二の目的は、第一の目的の成果の適用範囲を物性物理が対象とする状況にまで裾野を延長し、低次元トポロジーの知見とのリンクを開拓することである。
本プロジェクトのキックオフ集会として、本年度末の２月にゲージ理論をトピックとする国際集会およびトポロジカル相の数学的研究に関する複数のワークショップを開催した。
加藤は笹平裕史Hang Wangとの共同研究によって、被覆上のゲージ理論における不変量を構成した。
古田はTian-Jun Liとの共同研究において、TQFTとしてSeiberg-Witten理論を定式化する際に、reducibleの情報を取り出すための局所化のメカニズムを定式化した。
五味は、Thiang, 塩崎謙との共同研究をすすめ、群作用のある場合のトポロジカル相を補足するＫ理論を構成し計算を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Pin(2)作用についてのシステマティックな定式化が進行するとともに、Pin(2)作用が空間へ非自明である場合の考察の準備が整いつつある。この考察は、トポロジカル相において興味深い状況に対して示唆を与える可能性がある。
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| 今後の研究の推進方策 |
ゲージ理論についてPin(2)作用が空間に非自明に作用する場合もふくめて、Tian-Jun Li氏との共同研究の定式化を拡張を模索する。ゲージ理論に関する国際集会、トポロジカル相についてのワークショップを継続的に行う。同時に、変換群論、ホモトピー論、特異点についての知見との関連を考察する。
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