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2020 年度 実績報告書

指数定理の展開とトポロジカル表面状態

計画研究

研究領域次世代物質探索のための離散幾何学
研究課題/領域番号 17H06461
研究機関東京大学

研究代表者

古田 幹雄  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)

研究分担者 五味 清紀  東京工業大学, 理学院, 教授 (00543109)
加藤 毅  京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
研究期間 (年度) 2017-06-30 – 2022-03-31
キーワードBott周期性 / K群 / スペクトル切断
研究実績の概要

Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。 本研究のひとつの課題は、ある設定の下で、指数定理を(1)非線形偏微分作用素に対して、また(2)閉ではない多様体、に対して拡張し、ある種の非線形偏微 分作用素に対して解の散乱に相当する現象をトポロジカルに把握することである。ここで(1)としては3,4多様体上のゲージ理論の方程式、(2)としては 端のモデルが閉多様体の被覆空間である開多様体が対象である。
・昨年度の主要な成果は格子ゲージ理論におけるWilson-Dirac作用素の指数と連続理論におけるDirac作用素の指数を結び付けたことであったが、今年度は、前者をK理論的に定式化する記述方法を整備した。
・今年度の主要な成果として、K理論において基本的なBott周期性の、スペクトル切断による新しい別証明を与えた。数年前に、物性物理のバルクエッジ対応の考察にヒントを得てBott周期性のいわば"量子力学的証明"を得ていた。今回は、その証明から無限次元的考察を排除し、完全に有限次元の線形代数の範疇で証明を与えた。S^1上の微分作用素に対して、スペクトル切断の明示的な構成を行い、有限次元近似構成の基本的手段として用いる。この構成は、複素K群の周期性のみならず、実のKO群、あるいはKR理論の非自明な懸垂についての周期性に直接拡張可能である。
・上のスペクトル切断の構成の動機は上記(1)での有限次元近似への応用である。しかしこれについては今年度は明確な進展はなかった。
・物理学者の深谷英則・大野木哲也・山口哲の3氏および数学者の松尾信一郎・山下真由子の2氏との共同研究を進め。Atiyah-Patodi-Singer境界条件におけるmod 2 指数のドメインウォールを用いた具体的な記述を与えた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

●今年度は予定していた国際研究集会の計画をコロナの影響で取りやめた。それに限らず、3人以上のメンバーが一堂に会して広い黒板を前にして対面で議論を行う機会が持てなかった。代表者はオンラインでの講義の準備等に予想以上の労力が必要であった。代表者は本研究を進めるために「K理論的な定式化の記述方法の整備」のプロジェクトは、大学院向けの講義を用いた発表と軌を一にして行ったが、十分には行えなかった。
●昨年度に引き続く物理学者と数学者との共同研究は、準定期的なオンラインミーティングによって行った。対面とは質の異なる議論となり、長時間連続して行うことは難しかった。
●本研究の非線形作用素とかかわる側面については、新しい可能性のアイディアは得たが(スペクトル切断を"effective"に構成することによる可能性)結果的には、その実行を試みるまでには至らなかった。

今後の研究の推進方策

●2020年度に開催できなかった国際研究集会の代替の集会を2021年度に開催したい。オンラインが適切か否かを検討する。
●これまで若手の協力研究員を適宜追加し、若手人材の育成を行ってきた。概ねこの方針は有効に働いてきたと思われる。この方針を地道に堅持する。

  • 研究成果

    (19件)

すべて 2021 2020 その他

すべて 雑誌論文 (10件) (うち国際共著 3件、 査読あり 10件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 2件、 招待講演 7件) 備考 (2件)

  • [雑誌論文] Homological bulk-edge correspondence for Weyl semimetal2021

    • 著者名/発表者名
      Gomi Kiyonori
    • 雑誌名

      Progress of Theoretical and Experimental Physics

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1093/ptep/ptab035

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The simple type conjecture for mod 2 Seiberg-Witten invariants2021

    • 著者名/発表者名
      Kato Tsuyoshi、 Nakamura Nobuhiro、 Yasui Koichi
    • 雑誌名

      Journal of the European Mathematical Society

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Freed-Moore K-theory2021

    • 著者名/発表者名
      Kiyonori Gomi
    • 雑誌名

      Communications in Analysis and Geometry

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A note on the Nielsen realization problem for K3 surfaces2021

    • 著者名/発表者名
      Baraglia David、Konno Hokuto
    • 雑誌名

      Proceedings of the American Mathematical Society

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1090/proc/15544

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Kitaev’s Stabilizer Code and Chain Complex Theory of Bicommutative Hopf Algebras2021

    • 著者名/発表者名
      Kim Minkyu
    • 雑誌名

      Communications in Mathematical Physics

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The Atiyah-Patodi-Singer Index and Domain-Wall Fermion Dirac Operators2020

    • 著者名/発表者名
      Fukaya Hidenori、Furuta Mikio、Matsuo Shinichiroh、Onogi Tetsuya、Yamaguchi Satoshi、Yamashita Mayuko
    • 雑誌名

      Communications in Mathematical Physics

      巻: 380 ページ: 1295~1311

    • DOI

      10.1007/s00220-020-03806-0

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Smoothness filtration of the magnitude complex2020

    • 著者名/発表者名
      Gomi Kiyonori
    • 雑誌名

      Forum Mathematicum

      巻: 32 ページ: 625~639

    • DOI

      10.1515/forum-2019-0091

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Eigenvalue crossings in Floquet topological systems2020

    • 著者名/発表者名
      Gomi Kiyonori、Tauber Clement
    • 雑誌名

      Letters in Mathematical Physics

      巻: 110 ページ: 465~500

    • DOI

      10.1007/s11005-019-01225-4

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] The geometry of (non-Abelian) Landau levels2020

    • 著者名/発表者名
      De Nittis Giuseppe、Gomi Kyonori、Moscolari Massimo
    • 雑誌名

      Journal of Geometry and Physics

      巻: 152 ページ: 103649~103649

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2020.103649

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Positive scalar curvature and 10/8-type inequalities on 4-manifolds with periodic ends2020

    • 著者名/発表者名
      Konno Hokuto、Taniguchi Masaki
    • 雑誌名

      Inventiones mathematicae

      巻: 222 ページ: 833~880

    • DOI

      10.1007/s00222-020-00979-2

    • 査読あり
  • [学会発表] 同変K理論によるバンド絶縁体の分類2021

    • 著者名/発表者名
      五味 清紀
    • 学会等名
      オンラインCREST チュートリアル・ワークショップ 物質のトポロジカル相の理論的探究
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological invariants and corner states for Hamiltonians on a lattice2021

    • 著者名/発表者名
      林 晋
    • 学会等名
      第27回大阪市立大学国際学術シンポジウム 可視化の数理と対称性およびモジュライの深化
    • 招待講演
  • [学会発表] トーラス上のDirac作用素の正方格子による有限次元近似2020

    • 著者名/発表者名
      古田幹雄
    • 学会等名
      Summer School 数理物理 2020
    • 招待講演
  • [学会発表] L^2 harmonic theory and Seiberg-Witten・Bauer-Furuta theory on non-compact complete Riemannian 4-manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Kato Tsuyoshi
    • 学会等名
      The Eighth Pacific Rim Conference in Mathematics, Session on Differential Geometry
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] L^2 harmonic theory and Seiberg-Witten・Bauer-Furuta theory on non-compact complete Riemannian 4-manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Kato Tsuyoshi
    • 学会等名
      SouthamptonKyoto Workshop 2
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A mathematical approach to higher-order topological insulators2020

    • 著者名/発表者名
      林 晋
    • 学会等名
      トポロジカル表面状態、ソリトンとブレーン、指数定理
    • 招待講演
  • [学会発表] Toeplitz作用素の指数理論と(高次)トポロジカル絶縁体のトポロジーについて2020

    • 著者名/発表者名
      林 晋
    • 学会等名
      神戸幾何学セミナー, 神戸大学
    • 招待講演
  • [備考] A01「トポロジカル物質」

    • URL

      https://www.math-materials.jp/outline/#a01

  • [備考] 研究成果報告書

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/activity/annualreport.html

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公開日: 2021-12-27  

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