指数定理の展開とトポロジカル表面状態

2021 年度 実績報告書

• 研究領域: 次世代物質探索のための離散幾何学
• 研究課題/領域番号: 17H06461
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
• 研究分担者: 五味 清紀 東京工業大学, 理学院, 教授 (00543109) ; 加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
• 研究期間 (年度): 2017-06-30 – 2022-03-31
• キーワード: 指数定理 / バルクエッジ対応 / 格子指数定理 / ドメインウォール

研究実績の概要

Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。 プロジェクトの最終年の今年度は、これまで得た指数定理関係の成果の中で、不十分であった2点の課題について新たに取り組んだ。いずれも物理学者の深谷英則・大野木哲也・山口哲の3氏および数学者の松尾信一郎・山下真由子の2氏との共同研究による成果に関するものである。

(A)2018年度に我々はAtiyah-Patodi-Singerの指数定理のドメインウォールを用いた記述に数学的証明を与えたが、その際本質的であったのは開多様体に対する指数の局所化の命題が、ある強い仮定の下で成立することであった。この種の局所化はK理論の切除定理に対応する基本的な性質であるため、その強い不自然な仮定の除去が望まれた。今年度はこれに成功した。議論の鍵は、従来のWitten変形 D + th を拡張し、 D+f_t h の形の変形を適切なf_tに対して行うと、tの増大に伴って作用素の極限が存在することである。

(B)2019年度に我々は任意の多様体を格子ゲージ理論的に扱う枠組みを提案した。その構成では、与えられた多様体を高次元トーラスに埋め込み、高次元トーラスの正方格子上の適切な係数付きのWilson-Dirac方程式が、格子近似の方程式として得られる。準結晶のアナロジーでは、その格子をさらに簡約した埋め込み像の近傍にある格子のみの有効的な記述が望ましく、その達成は、任意の多様体のある種の格子近似の上でWilson-Dirac的方程式が構成となる。単なる定義域の制限では境界からの寄与が無視できず困難であったが、上記(A)の方法を援用して困難を解消するアプローチを見出した。ただし、最終的な方程式の明示的な書き下しにまでは至っておらず、これが残された問題である。

現在までの達成度 (段落)

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] The Cohomology Invariant for Class DIII Topological Insulators (2022)
  • 著者名/発表者名: De Nittis Giuseppe、Gomi Kyonori
  • 雑誌名: Annales Henri Poincare 巻: - ページ: -
  • DOI: 10.1007/s00023-022-01183-z
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The Index Theorem of Lattice Wilson?Dirac Operators via Higher Index Theory (2022)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke
  • 雑誌名: Annales Henri Poincar? 巻: 23 ページ: 1297～1319
  • DOI: 10.1007/s00023-022-01159-z
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The relative Mishchenko-Fomenko higher index and almost flat bundles II: Almost flat index pairing (2022)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke
  • 雑誌名: Journal of Noncommutative Geometry 巻: 16 ページ: 215～264
  • DOI: 10.4171/JNCG/432
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Constraints on families of smooth 4-manifolds from Pin^-(2) -monopole (2022)
  • 著者名/発表者名: Konno Hokuto, Nakamura Nobuhiro
  • 雑誌名: Algebraic & Geometric Topology 巻: to appear ページ: -
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] A note on the Nielsen realization problem for K3 surfaces (2022)
  • 著者名/発表者名: David Baraglia, Konno Hokuto
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: to appear ページ: -
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the Bauer-Furuta and Seiberg-Witten invariants of families of 4‐manifolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Baraglia David、Konno Hokuto
  • 雑誌名: Journal of Topology 巻: 15 ページ: 505～586
  • DOI: 10.1112/topo.12229
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] A cohomological Seiberg?Witten invariant emerging from the adjunction inequality (2022)
  • 著者名/発表者名: Konno Hokuto
  • 雑誌名: Journal of Topology 巻: 15 ページ: 108～167
  • DOI: 10.1112/topo.12215
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern?Simons functional (2022)
  • 著者名/発表者名: Taniguchi Masaki
  • 雑誌名: Quantum Topology 巻: 13 ページ: 335～405
  • DOI: 10.4171/QT/165
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Hilbert bundles with ends (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi、Kishimoto Daisuke、Tsutaya Mitsunobu
  • 雑誌名: Journal of Topology and Analysis 巻: - ページ: 1～32
  • DOI: 10.1142/s1793525321500680
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] L 2 harmonic theory, Seiberg-Witten theory and asymptotics of differential forms (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi
  • 雑誌名: Journal of Gokova Geometry Topology 巻: 15 ページ: 1-22
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Covering-monopole map and higher degree in non-commutative geometry (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi
  • 雑誌名: Journal of Noncommutative Geometry 巻: 15 ページ: 995～1071
  • DOI: 10.4171/jncg/430
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Induced map on K-theory for certain $\Gamma$-equivariant maps between Hilbert spaces (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi
  • 雑誌名: Journal of Noncommutative Geometry 巻: 15 ページ: 1433～1467
  • DOI: 10.4171/jncg/442
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Rigidity of the mod 2 families Seiberg?Witten invariants and topology of families of spin 4-manifolds (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi、Konno Hokuto、Nakamura Nobuhiro
  • 雑誌名: Compositio Mathematica 巻: 157 ページ: 770～808
  • DOI: 10.1112/s0010437x2000771x
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Homotopy type of the unitary group of the uniform Roe algebra on Z_n (2021)
  • 著者名/発表者名: Kato Tsuyoshi、Kishimoto Daisuke、Tsutaya Mitsunobu
  • 雑誌名: Journal of Topology and Analysis 巻: - ページ: 1～18
  • DOI: 10.1142/S1793525321500357
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] ‘Real’ Gerbes and Dirac Cones of Topological Insulators (2021)
  • 著者名/発表者名: Gomi Kiyonori、Thiang Guo Chuan
  • 雑誌名: Communications in Mathematical Physics 巻: 388 ページ: 1507～1555
  • DOI: 10.1007/s00220-021-04238-0
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Twisted crystallographic T-duality via the Baum-Connes isomorphism (2021)
  • 著者名/発表者名: Gomi Kiyonori、Kubota Yosuke、Thiang Guo Chuan
  • 雑誌名: International Journal of Mathematics 巻: 32 ページ: 2150078～2150078
  • DOI: 10.1142/S0129167X21500786
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Classification of topological invariants related to corner states (2021)
  • 著者名/発表者名: Hayashi Shin
  • 雑誌名: Letters in Mathematical Physics 巻: 111 ページ: -
  • DOI: 10.1007/s11005-021-01460-8
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Gapless States Localized along a Staircase Edge in Second-Order Topological Insulators (2021)
  • 著者名/発表者名: Nagasato Yuki、Takane Yositake、Yoshimura Yukinori、Hayashi Shin、Nakanishi Takeshi
  • 雑誌名: Journal of the Physical Society of Japan 巻: 90 ページ: 104703～104703
  • DOI: 10.7566/JPSJ.90.104703
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The bulk-dislocation correspondence for weak topological insulators on screw?dislocated lattices (2021)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke
  • 雑誌名: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 巻: 54 ページ: 364001～364001
  • DOI: 10.1088/1751-8121/ac190c
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The Gromov?Lawson codimension 2 obstructionto positive scalar curvature and the C??index (2021)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke、Schick Thomas
  • 雑誌名: Geometry & Topology 巻: 25 ページ: 949～960
  • DOI: 10.2140/gt.2021.25.949
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Characteristic classes via 4?dimensional gaugetheory (2021)
  • 著者名/発表者名: Konno Hokuto
  • 雑誌名: Geometry & Topology 巻: 25 ページ: 711～773
  • DOI: 10.2140/gt.2021.25.711
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Seiberg-Witten Floer Homotopy Contact Invariant (2021)
  • 著者名/発表者名: Iida Nobuo, Taniguchi Masaki
  • 雑誌名: Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 巻: 58 ページ: 505～558
  • DOI: 10.1556/012.2021.01511
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] On a topological invariant related to corner states via index theory and matrix factorizations (2022)
  • 著者名/発表者名: Hayashi Shin
  • 学会等名: ”Variety and universality of bulk-edge correspondence in topological phases:From solid-state physics to transdisciplinary concepts" (BE/BC2022), Tsukuba University, Ibaraki
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Homological bulk-edge correspondence for Weyl semimetal (2021)
  • 著者名/発表者名: Gomi Kiyonori
  • 学会等名: Topological Phases of Matter, Leysin, Switzerland (attended online)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Homological bulk-edge correspondence for Weyl semimetal (2021)
  • 著者名/発表者名: Gomi Kiyonori
  • 学会等名: Internatinal Conference on Discrete Geometric Analysis for Materials Design, , online
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Weyl 半金属に対するホモロジー的バルク境界対応 (2021)
  • 著者名/発表者名: 五味清紀
  • 学会等名: ポアソン幾何とその周辺21
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The bulk-dislocation correspondence: an operator-algebraic approach (2021)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke
  • 学会等名: The 21st International Conference on Discrete Geometric Analysis for Materials Design
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The bulk-dislocation correspondence: an operator-algebraic approach (2021)
  • 著者名/発表者名: Kubota Yosuke
  • 学会等名: Topological phases of matter, Leysin, Switzerland (attended online)
  • 国際学会 / 招待講演