| 研究領域 | 次世代物質探索のための離散幾何学 |
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| 研究課題/領域番号 |
17H06465
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
小谷 元子 東北大学, 材料科学高等研究所, 教授 (50230024)
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| 研究分担者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
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| 研究期間 (年度) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| キーワード | 微分幾何学 / 離散幾何学 / 極小曲面 |
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| 研究実績の概要 |
本計画研究では、多孔質構造を離散曲面論により記述し、優れた物性・機能と幾何学的不変量の相関を解析し、求められる機能をもつ多重ネットワークを分類することを目的としている。特に、多重ネットワーク構造の幾何学的不変量を計算し、物質分離・輸送を最適化するために機能との相関を解析する。古典的な曲面論の離散版となる離散曲面論を構築し、特に曲率や平均曲率の概念の導入および抽象的なグラフの分類と構造・機能計算を行う。それにより、最適構造の特定を行い、さらに、与えられた境界条件を変形するときにそれを張る「離散極小曲面」の変形、特に特異点のトポロジカルな変形（相転移）を理解するための新しい数学的手法を開発することを目指している。
平成３０年度は、数学的基礎付けを引き続き行い、チャンネル数が高い場合のネットワークの分類を行うことおよび対応する３次元多様体に埋め込まれた多重分岐曲面の研究も併せて行うことを計画していた。これについては離散曲面論の基本的な概念を定義し、また背後にある連続曲面をとらえるために与えられた離散曲面の細分列の収束に関する基盤的な結果を得ることができた。また、相分離におけるダイナミックスの研究、および確率論を専門とするプロジェクト助教を中心に昨年度より取り入れたネットワーク上の確率論的手法に基づきランダム・ウォーク、量子ウォークに関する幾つかの重要な論文を発表することができた。
研究項目A02とも共通の課題があるため、定期的なミーティングを持ち、情報交換を行った。国際アドバイザーの下に学生を派遣し、具体的かつ有効なアドバイスを受けた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究計画の中核となる離散曲面論の構築と細分列の構成および収束の枠組みを確定することができた。これを基に、多重ネットワークのミクロな構造をそのスケール変換としてとらえることのできるマクロな連続構造の相関を調べるという方針を実行する基盤が整った。若手研究者を中心にA02班、A03-2班などと活発な議論が進み、数学的モデルが実際の材料合成に活かされるように、シミュレーションとのすり合わせを十分に行うことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の成果を基に、更に離散曲面論の収束理論および特異集合の解析を進める。また、これを離散極小曲面の場合に適用し、相分離構造によって得られる離散曲面の分類および特異点近傍の幾何量と触媒の機能の相関を数学的に分析する。特に、このようにして得られる多重ネットワーク構造の安定性およびそのうえでの拡散速度を表す数理モデルを、確率論的手法も併せて構築する。これをA02,A03班と議論を行い、数理モデルを改良する。最適構造を化学工学者に提案する。
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