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2022 年度 実績報告書

データ記述科学創出に向けた数学的基盤構築

計画研究

研究領域データ記述科学の創出と諸分野への横断的展開
研究課題/領域番号 22H05105
研究機関九州大学

研究代表者

白井 朋之  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)

研究分担者 本多 正平  東北大学, 理学研究科, 教授 (60574738)
Escolar EmersonGaw  神戸大学, 人間発達環境学研究科, 助教 (20850499)
研究期間 (年度) 2022-06-16 – 2027-03-31
キーワード最適輸送理論 / パーシステント加群 / 確率場・確率過程
研究実績の概要

Multi Dimensional Scaling(MDS)の無限版が最近Kroshnin-Stepanov-TrevisanとLim-Memoli等のグループによって導入されたので、その詳細を理解することを試みて成功した。実際、残っている取り組むべき問題(例えばMDS写像が実際に埋め込みになっているかなど)がはっきりした。一方でそのような問題と関係して、その定式化にも改善の余地が見られたので、それについて現在取り組んでいる。具体的には、連続性を仮定しないカーネル埋め込みによる一般論の構築を試みており、部分的な結果はすでに得られており、それはすでにある熱核埋め込みなどの理論も含む枠組みとなっている。マルチパラメータ版のパーシステントホモロジーを構築するために、区間表現による分解および区間近似の研究に取り組んでいる。まずは、一般の表現(パーシステンス加群)及びパラメータ空間の複雑さの指標となる区間次元を導入して、その理論基盤の整備を行った。具体的には、区間次元の有限性を示し、Auslander-Reiten translationによる区間次元の計算式を与えた。また、区間近似の具体的な構成に成功して、計算するアルゴリズムの開発を開始した。さらに、低い区間次元を持つパラメータ空間を特定するために、計算機実験で様々なパラメータ空間を考察した。確率場の一例としていわゆる離散行列式確率場を取り上げて、従来の非負定値行列をパラメータとするモデルを一般化して歪対称行列までパラメータに含めたモデルを考察した。特にそれを基礎にした機械学習の定式化に関連する計算機実験を実施した。また、画像の生成モデルの機械学習的アプローチにあらわれる確率微分方程式に関する先行研究の情報収集を行い、対応するマルコフ連鎖について考察した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

無限MDSは導入されたばかりの概念であるため、その正確で深い理解を得ることと取り組むべき具体的な重要な問題を適切に見つけることが最初の問題であったが、それは達成されたこと、さらにその方向で部分的な結果がすでに得られている。マルチパラメータ化したパーシステンス加群の複雑さを測るための指標である区間次元の導入と理論基盤の整備がある程度できた。これは今後のマルチパラメータ化の研究に使える強力な道具の一つになると期待できる。行列式確率場の一般化の機械学習に関する研究については、計算機実験による試行錯誤の段階ではあるが、いくつかの意味のある数値的な計算結果も出てきている。これらを総合して、おおむね順調に進展していると判断した。

今後の研究の推進方策

現在対称性が非常に高いリーマン多様体に対してだけ、無限MDSが具体的に計算されているので、それをもっと広い枠組みで実現したい。そのために、連続とは限らないカーネル埋め込みの理論を構築することでその達成を試みる。また、高次のカーネル埋め込みの理論の構築にも現在取り組んでおり、それと無限MDSの関係もみえてきているので、そちらの研究も推進する。パーシステントホモロジーのマルチパラメータ化のため、引き続き区間分解と区間近似の研究を進める。理論の側面では、標準的なホモロジー代数で有益な情報を持つKoszul Complexの導入や、区間分解の双対である区間余分解の使用を調べる。また、低い区間次元を持つパラメータ空間の特定を試みる。さらに、データ解析における区間近似の解釈を解明するために、実データの区間近似を計算して理論的な性質と照らし合わせながら方法論の構築に取り組む。また、今年度に引き続き、拡張された行列式確率場の理論的な考察と、計算機による数値的研究のハイブリッドの形で更なる研究を進めたい。また画像生成の学習にあらわれる確率微分方程式の重要な性質を抽象する形で、点過程のダイナミクスとの類似性にも着目して、マルコフ連鎖の研究の新しい側面について考察を進めたい。

  • 研究成果

    (35件)

すべて 2023 2022

すべて 雑誌論文 (5件) (うち国際共著 2件、 査読あり 5件、 オープンアクセス 5件) 学会発表 (29件) (うち国際学会 14件、 招待講演 25件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] A limit theorem for persistence diagrams of random filtered complexes built over marked point processes2022

    • 著者名/発表者名
      Tomoyuki Shirai, Kiyotaka Suzaki
    • 雑誌名

      Modern Stoch. Theory Appl.

      巻: Volume 10, Issue 1 ページ: 1-18

    • DOI

      10.15559/22-VMSTA214

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Weakly non-collapsed RCD spaces are strongly non-collapsed2022

    • 著者名/発表者名
      Camillo Brena, Nicola Gigli, Shouhei Honda, Xingyu Zhu
    • 雑誌名

      Journal fur die reine und angewandte Mathematik(Crelles Journal)

      巻: Volume 2023 Issue 794 ページ: 215-252

    • DOI

      10.1515/crelle-2022-0071

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Local universality of determinantal point processes on Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      Tomoyuki Shirai, Makoto Katori
    • 雑誌名

      Proc. Japan Acad. Ser. A Math.

      巻: Sci. 98 (10) ページ: 95 - 100

    • DOI

      10.3792/pjaa.98.018

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] A note on the topological stability theorem from RCD spaces to Riemannian manifolds2022

    • 著者名/発表者名
      Honda Shouhei, Peng Yuanlin
    • 雑誌名

      manuscripta mathematica

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1007/s00229-022-01418-7

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Expected Number of Zeros of Random Power Series with Finitely Dependent Gaussian Coefficients2022

    • 著者名/発表者名
      Kohei Noda, Tomoyuki Shirai
    • 雑誌名

      J. Theor. Probab.

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.1007/s10959-022-01203-y

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] リッチ曲率が下に有界だが特異なWeylの漸近公式2023

    • 著者名/発表者名
      本多正平
    • 学会等名
      測地線及び関連する諸問題
    • 招待講演
  • [学会発表] パーシステントホモロジーと表現論2023

    • 著者名/発表者名
      Emerson Escolar
    • 学会等名
      Meetシリーズ 第1回 Topology Meets Data
    • 招待講演
  • [学会発表] Enumeration of connected bipartite graphs with given Betti number2023

    • 著者名/発表者名
      藪奥 哲史, 蓮井 太朗, 白井 朋之
    • 学会等名
      日本数学会2023年度春季総合分科会
  • [学会発表] Topological stability theorem from nonsmooth to smooth spaces with Ricci curvature bounded below2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      2022 International Conference on PDEs and Geometric Analysis
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Poisson representation of α-determinantal point processes2022

    • 著者名/発表者名
      Tomoyuki Shirai
    • 学会等名
      Crossroad of Statistical Physics and Probability Theory
    • 招待講演
  • [学会発表] リッチ曲率が下に有界な空間を固有関数族で球面にはめ込む2022

    • 著者名/発表者名
      本多 正平
    • 学会等名
      部分多様体論と幾何解析の新展開
    • 招待講演
  • [学会発表] Recent developments on metric measure spaces with Ricci curvature bounded below I2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      Mini-courses in Yau Mathematical Sciences Center
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Recent developments on metric measure spaces with Ricci curvature bounded below II2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      Mini-courses in Yau Mathematical Sciences Center
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Recent developments on metric measure spaces with Ricci curvature bounded below III2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      Mini-courses in Yau Mathematical Sciences Center
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Persistent homology and its applications2022

    • 著者名/発表者名
      Tomoyuki Shirai
    • 学会等名
      Blockchain Kaigi 2022 (BCK2022)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] PDEs, Geometric Measure Theory and Ricci curvature on nonsmooth spaces2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      第47回偏微分方程式論札幌シンポジウム
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Topological stability theorem from nonsmooth to smooth spaces with Ricci curvature bounded below2022

    • 著者名/発表者名
      Shohei Honda
    • 学会等名
      HCM Conference: From Dirichlet Forms to Wasserstein Geometry
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Zeros of the i.i.d. Gaussian Laurent series on an annulus2022

    • 著者名/発表者名
      Tomoyuki Shirai
    • 学会等名
      The Statistical Physics of Continuum Particle Systems with Strong Interactions
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] チーガー・コールディング理論とRCD理論の違い,およびそれらの未解決問題について2022

    • 著者名/発表者名
      本多 正平
    • 学会等名
      測度距離空間の解析と幾何およびその展望
    • 招待講演
  • [学会発表] Weakly non-collapsed RCD spaces are strongly non-collapsed2022

    • 著者名/発表者名
      本多 正平
    • 学会等名
      Open Japanese-German conference on stochastic analysis and applications
    • 招待講演
  • [学会発表] 位相的データ解析の紹介とマルチパラメータパーシステンスの区間分解に関する研究2022

    • 著者名/発表者名
      Emerson Escolar
    • 学会等名
      Combinatorial Approach to Machine Learning 九州大学 IMI 共同利用・短期共同研究 (非公開講演)
    • 招待講演
  • [学会発表] Singular Weyl's law with Ricci curvature bounded below2022

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      Seminar in Geometric Analysis
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A canonical diffeomorphism between closed Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded below2022

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      2022 Global KMS International Conference
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] パーシステントホモロジーとその周辺の話題2022

    • 著者名/発表者名
      白井 朋之
    • 学会等名
      ブロックチェーン研究会(オンライン)
    • 招待講演
  • [学会発表] Zeros of the i.i.d. Gaussian Laurent series on an annulus2022

    • 著者名/発表者名
      白井 朋之
    • 学会等名
      Non-Commutative Probability and Related Topics 2022
    • 招待講演
  • [学会発表] Gromov-Hausdorff distance and topological stability2022

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      The 15th MSJ-SI; Deepening and Evolution of Applied Singularity Theory
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Open problems for RCD spaces2022

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      Low Regularity Physics and Geometry Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Singular Weyl's law with Ricci curvature bounded below2022

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      The 2022 Pacific Rim Mathematical Association Congress, Geometric Analysis session
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 行列式点過程の数理とその応用 -ランダム行列から機械学習へ-2022

    • 著者名/発表者名
      白井 朋之
    • 学会等名
      AIE講演会
    • 招待講演
  • [学会発表] Multiparameter persistent homology and interval approximations2022

    • 著者名/発表者名
      Emerson Escolar
    • 学会等名
      General Topology Symposium 2022
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Correlations between zeros of Gaussian polyanalytic functions2022

    • 著者名/発表者名
      白井 朋之
    • 学会等名
      大規模相互作用系の確率解析
    • 招待講演
  • [学会発表] Approximation by interval-decomposables and interval resolutions of persistence modules2022

    • 著者名/発表者名
      Emerson Escolar, Hideto Asashiba, Ken Nakashima, Michio Yoshiwaki
    • 学会等名
      第54回環論および表現論シンポジウム
  • [学会発表] 可換梯子型パーシステンス加群の表現論的区間分解の計算法2022

    • 著者名/発表者名
      中島 健, 浅芝 秀人, Emerson G. Escolar, 吉脇 理雄
    • 学会等名
      日本応用数理学会2022年度年会
  • [学会発表] Approximation by interval-decomposables and interval resolutions of 2D persistence modules2022

    • 著者名/発表者名
      中島 健, 浅芝 秀人, Emerson G. Escolar, 吉脇 理雄
    • 学会等名
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
  • [学会・シンポジウム開催] AATRN/APATG poster session2022

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公開日: 2023-12-25  

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