研究課題
一般研究(B)
3次元の極小モデルには特異点があり、各特異点にはインデックスという不変量が付随している。非特異モデル上では全く見えない存在であるにもかかわらず、このインデックスの全体=バスケットは双有理不変量であり更に変形不変量であることも知られている。さて3次元多様体の分類を行う時、ある一定のクラスの多様体についてはインデックスが有界であることが必要と思われる。以前、標準因子Kが数値的に0の時インデックスが有界であることを示したが、その延長として、Kが負の時もインデックスが有界でしかもK^3も有界であることを論文「Boundedness of QーFano Threefolds」で示した。また全く別の方法により楕円曲面族の退化についてインデックスの有界性を論文「Moderate degenerations of algebraic surfaces」で示した。更に同論文では曲面の退化族の極小モデルは位相幾何学的には半安定族と殆ど同等のふるまいをすることを示した。代数体k上定義された代数多様体Xを考えると、基本群π_1(X)は絶対ガロア群Gal(k/k)の拡大群となる。中村はXをπ_1(X)によって特徴づけることを研究し、種々の結果をえた。まずXが双曲型の曲線ならばGal(k/k)の拡大群としてのπ_1(X)によりXが同型を除いて唯一つ定まることを示した。また、XがP^1からいくつかの点を除いた多様体の場合に、π_1(X)の拡大群としての自己同型は全てのXの自己同型から誘導されることも示した。松本は、リ-マン面の退化族における特異ファイバ-の位相的分類を研究した。その結果、特異ファイバ-の位相形は非ア-ベル的モノドロミ-で決まること、また逆に任意の代数的有限型のモノドロミ-に対してそれに対応する穴あきリ-マン面の退化族が存在することを示した。
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