研究課題
代数的数体の主整数環を、拡大体のガロア群の作用域としたとき、主整数環による表現の同型類を決定することが本研究の目的であった。拡大体が弱分岐のときは、最近かなりわかってきている。拡大体のゼ-タ-関数の関数等式にでてくる不変数と強く関連していることがわかってきた。そのことは有理整数環上のガロア群の群環を作用域としての同型の分類に対応した事実である。それらの結果を強分岐な場合に拡張していくために、まず有理整数環を他の基礎的な環に取り替えて、その場合の同型類を調べる必要がでてくる。この様な研究は弱分岐の場合でもやられている。ガロア群が可換であるという条件の下で、同型類がなす群、すなわち類群の中で、代数的整数環を含む同型類の特徴づけが弱分岐な場合得られている。それに類似した結果がガロア群の位数が素数のときの強分岐の場合に研究実績として得られた。本年度発表できた。それを得るとき、非アルキメデス的な解析の手法、環の表現論、連続写像についての位相的な手法を用いた。その特徴づけは弱分岐のときの特徴づけと同じ表現をもつ。すなわち類ぐん同じ様は準同型を用いて、それの像になっているものたちが整数環の同型類になっている。またその特徴づけを得るときに用いられた方法を拡大体の中の特異イデアルに適用した。ここでも類似の結果を得られた。特異イデアルはガロア群で不変であるので、ガロア群上の加群としての同型類を考えうる。そのときある類群が定義でき、その中で特異イデアルを含む同型類を特徴づけ得た。ただしガロア群は上と同じく素数を位数とするものである。発表予定である。
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