双曲型偏微分方程式系の初期境界値問題

1989 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 01540092
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 久保田 幸次 北海道大学, 理学部, 教授 (50000807)
• 研究分担者: 儀我 美一 北海道大学, 理学部, 助教授 (70144110)
• キーワード: 半線形熱方程式 / 燃焼論 / 解の爆発 / 爆発点 / ナヴィエ・スト-クス方程式 / 弱解の正則性

研究概要

半線形熱方程式およびナヴィエ・スト-クス方程式の解の特異点について解析的な考察をした。自己増殖効果の非常に速い半線形熱方程式は燃焼論に典型的に現れる。初期値が滑らかでも解の値が有限時間内で無限大に発散するのが特徴である。この現象を解の爆発という。爆発は空間一様にはおきない。爆発のおこる点を爆発点と呼ぶことにすると、これは解の特異点と言うこともできる。燃焼論では発火のおこる発火点と呼ばれている。研究分担者はR.LKohn氏との共同研究により、爆発点付近の解の漸近挙動を詳細に調べた。その結果、漸近挙動により爆発点を特徴づけることに成功した。扱った方程式は、非線形項がベキ型であるので指数型の燃焼論の方程式とは異ったが、数学的厳密な解析という点で前例がなく、放物型方程式の解の特異点の研究に大きな道を開いた。
流体力学の基礎方程式であるナヴィエ・スト-クス方程式については、解が爆発するかどうか、特異点を持つかとうかさえわかっていない。そこでナヴィエ・スト-クス方程式の弱解にもし爆発点があったら、どのような積分量が爆発しているかという問題を本学大学院生に課した。その結果、この院生は古典的内部正則性判定条件を拡張することに成功した。一方、研究分担者とH.Sohr氏は、ナヴィエ・スト-クス方程式について従来構成された弱解についての解析的性質、例えばどの程度の滑かさがあるかという問題を考察してきた。この研究過程でスト-クス方程式に対して新しいアプリオリ評価を導いたが、弱解が正則性判定条件を満たすかどうかは未解決である。

研究成果

• [文献書誌] Y.Giga: "A local characterization of blowup points of semilinear heat equations" Recent topics in nonlinear P.D.E.IV(三村、西田編)North-Holland Lecture Notes in Num.Appl.Anal.10. 1-14 (1989)
• [文献書誌] Y.Giga and R.Kohn: "Removalility of blowup points for semilinear heat equations" Proc.EQUADIFF 1987,G.Papanicolaon et al.ed.,Marcel Dekker. 257-264 (1989)
• [文献書誌] Y.Giga and R.Kohn: "Nondegeneracy of blowup for semilinear heat equations" Comm.Pure appl.Math.42. 845-884 (1989)
• [文献書誌] Y.Giga and H.Sohr: "On the Stokes operator in exterior domains" J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sect.IA. 36. 103-130 (1989)
• [文献書誌] Y.Giga and H.Sohr: "Abstract L^P estimates for the Canchy problem with applications to the Navier-Stokes equations in exterior domains" J.Funct.Anal.
• [文献書誌] S.Takahashi: "On interior regularity criteria for weak solutions of the Navier-Stokes equations" Manuscripta Math.