フックス型微分方程式の代数幾何、微分幾何及び位相幾何的研究

1989 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 01540145
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 吉田 正章 九州大学, 理学部, 助教授 (30030787)
• 研究分担者: 山本 野人 九州大学, 理学部, 助手 (30210545) ; 佐々木 武 広島大学, 総合科学部, 助教授 (00022682) ; 茂手木 公彦 九州大学, 理学部, 助手 (40219978) ; 塩浜 勝博 九州大学, 理学部, 教授 (20016059) ; 山崎 正 九州大学, 理学部, 助教授 (30011696)
• キーワード: GauβーManin接続 / モノドロミイ群 / orbifold / Siegel modular / 等角幾何 / Eisenstein series / 非負曲率完備多様体 / 結び目

研究概要

研究代表者(吉田)は分担者佐々木武氏等の協力のもとに、線型偏微分方程式系(解空間は有限次元)の幾何学的理論を推進させた。即n変数階数r+1の線型微分方程式系の解をならべてI次元複素射影空間への埋め込みを作ることにより、微分方程式を射影部分多様体を対応させ、r=n+2の場合に、微分方程式の係数の微分不変式と射影多様体の射影不変式の関係を明確にした。この場合の幾何は射影超曲面の等角幾何である。更に数種の代数多様体のモジュライを記述する微分方程式系(ガウス・マニン接続)を前述の不変量を計算することによって具体的に求め、微分方程式論的群論的代数幾何的及び数論的性質をくわしく調べた。特に代数多様体がある種のK3曲面のとき我々の研究した微分方程式は、最近ゲルファント達の提唱している超幾何方程式の一般化の一番実り多い例の解析になっている。
分担者山崎正は、一般次のジ-ゲル保形型式に対応するディリクレ級数の解析的性質を、重さ0の非正則なアイゼンシュタイン級数とのコンボル-ションを取ることにより導出した。即昔Rankinが楕円モジュラ-に対してやった“Symmetric scquare"がこの場合に拡張出来ることを示した。
分担者塩浜勝博は、非負曲率完備多様体上の局所凸集合の位相に関するBurago-Zalgallerの結果を更に精密化し、Gromoll-CheegerのSoul Theoremを一般化して、凸集合の位相構造に関する最終結果を得た。
分担者茂手木公彦は3次元球面の中の結び目をそれを内部に含むソリッドト-ラスに関してねじった際に結び目のTypeが変るか否かについて調べ、ソリッドト-ラスが自明でない時はいつでも変り、そうでないときも変らないのは高々有限ケのTwistであることなどを示した。また、twistに関して不変な性質についても調べた。

研究成果

• [文献書誌] 吉田正章,佐々木武: "Linear differential equations modeled after hyperquadrics" Tohoku Math.J.41. 321-348 (1989)
• [文献書誌] 吉田正章,佐々木武: "Tensor products of linear differential equations II" Funkcial Ekvac.
• [文献書誌] 吉田正章,佐々木武,松本圭司: "The monodromy of the period map of a 4-parameter family of K3 surfaces and the Aomoto-Gelfand hypergeometric function of type(3,6)"
• [文献書誌] 塩浜勝博: "Locally convex sets in nonnegatively curved manifold"
• [文献書誌] 茂手木公彦,河野正晴,渋谷哲夫: "Twisting of Knots"
• [文献書誌] 山崎正: "RankinーSelberg method for Siegel cusp forms"
• [文献書誌] 岩崎克則,木村弘信,下村俊,吉田正章: "Differential Equations in Complex Variables" Vieweg Verlag,Wiesbaden, 300 (1990)