非線型発展方程式の解の漸近挙動

1989 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 01540146
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 中尾 愼宏 九州大学, 教養部, 助教授 (10037278)
• 研究分担者: 幸崎 秀樹 九州大学, 教養部, 助教授 (20186612) ; 佐藤 栄一 九州大学, 教養部, 助教授 (10112278) ; 加藤 久子 九州大学, 教養部, 助教授 (00038457) ; 風間 英明 九州大学, 教養部, 教授 (10037252) ; 鎌田 正良 九州大学, 教養部, 教授 (60038495)
• キーワード: 非線型波動方程式 / 流体の方程式 / 解の分岐 / 変換群 / 固定点多様体 / 多様体の構造 / 指数理論 / エルゴ-ド理論

研究概要

本研究は、数理物理学に現われる代表的な偏微分方程式を中心に、非線型発展方程式の解の漸近挙動を調べることを目的とした。そして、その方法として、解析的方法、位相的方法、幾何学的方法、さらに作用素論・エルゴ-ド論等の抽象的方法を組み合せることをもって特色とするものであった。これらの目的、特色は勢い、多くの分野の研究集会にそれぞれの分担者が出席し、討議を行うことを、研究を進める上での実際的な活動とならせ、研究費用も大部分そのための旅費として使用されることになった。以下、主な研究成果を述べる。
1.解析的方法。代表者中尾は、非線型波動方程式の大域解、周期解の存在、正則性およびエネルギ-減衰等について多くの結果を得た。さらに、幾何学的にも重要な準線型楕円型方程式の分岐解の構造を、位相的方法も取入れて決定した。加藤は、抽象的な作用素論を利用して、流体の方程式についてその大域解の一意存在を保証する空間を考察した。
2.位相的方法。鎌田は、S^1およびZ_2が変換群としてマンパクト多様体に作用する際の固定点多様体の特性数を、C^∞写像の横断近似定理を利用して調べた。固定点問題を非線型偏微分方程式の解の存在定理やattracterに応用することは興味深い今後の問題と思われる。
3.幾何学的方法。佐藤は、単有理多様体の構造について著しい成果をあげた。また、風間は、弱い擬凸性をもつ多様体での〓問題の研究を行い重要な結果を得た。これらは、非線型方程式の解の多様体としての構造を調べる上で有効であろうと思われる。
4.作用素論・エルゴ-ド理論による方法。幸崎・浜地は共同して、III型因子環の指数理論を深化させつつ、そのエルゴ-ド理論への応用に新境地を拓いた。これは、非線型方程式の解のカオス的挙動の把握に有効になるかも知れない。今後の研究課題である。

研究成果

• [文献書誌] M.Nakao: "On some regularity of periodic solutions of the wave equation with a nonlinear or degenerate dissipative term" Nonlinear Analysis,Theory,Method & Applications. 13. 555-564 (1989)
• [文献書誌] M.Nakao: "Decay estimates for some nonlinear second order ordinary differential Equations" Bull.Australian Math.Soc.40. 25-35 (1989)
• [文献書誌] M.Nakao: "A bifurcation problem for a quasi-linear elliptic boundary value problem" Nonlinear Analysis,Theory,Method & Applications. 14. 251-262 (1990)
• [文献書誌] M.Nakao: "Existence of global classical solutions of the initial-boundary value problem for some nonlinear wave equations" J.Mathematical Analysis & Applications. 145. (1990)
• [文献書誌] M.Nakao: "Global existence of classical solutions to the initial-boundary value problem for the semi-linear wave equation with a degenerate dissipative term" Nonlinear Analysis,Theory,Method & Applications. 14. (1990)
• [文献書誌] M.Kamata: "On the characteristic numbers of unitary semi-free S^1-manifolds" Lecture Notes in Math.,Springer. 1375. 126-131 (1989)
• [文献書誌] H.Kazama: "〓 Cohomology of complex Lie groups" Publ.R.I.M.S.,Kyoto University.
• [文献書誌] H.Kato: "Weak solutions of the Navier-Stokes initial value problem" Math.Reports,College of General Educ.,Kyushu Univ.17. 57-71 (1989)
• [文献書誌] E.Sato: "3-folds with two P^1-bundle structures" Journal of Mathematics of Kyoto University.
• [文献書誌] E.Sato: "The existence of varieties whose hyperplane section is P^r-bundle" Journal of Mathematics of Kyoto University.
• [文献書誌] H.Kosaki: "Characterization of crossed product(properly infinite case)" Pacific Journal of Mathematics. 137. 159-167 (1989)
• [文献書誌] H.Kosaki: "Generalized powers Stφrmer inequality" Pacific Journal of Mathematics. 138. 288-292 (1989)