| 研究概要 |
特性根の重複度が変わる双曲型方程式は,C^∞の意味で適切かどうかはその方程式の低階によって決まる。特にC^∞の意味で適切でないような低階を与えたときは,その双曲型方程式の基本解は,その表象が共役変数ξに関して指数的増大度をもつフ-リェ積分作用素で表現される。このことをはっきり示すために,我々はまず指数的に減少するジェヴレイ関数の共役空間として超関数の属を定義する。これはフ-リェ像が任意の正数εに対してexp(ε<ξ>^<1/n>)で評価されることで特徴付けられる。この評価を超局所化したものとして超波面集合(ultra wave front set)を定義する。この超波面集合は,対象となる超関数のフ-リェ像がいかに下からexp(C<ξ>1/n)(Cはある正数)で評価されるかをきっちりと表現する強力な武器となる。我々は前年度において,L_1=θ^2_tーt^<2j>θ^2_χーat^kθ_χ(0<k<jー1)とL^2=θ^2_tーt^<2j>θ^2_χ(j=even)という2つのC^∞の意味で適切でない双曲型方程式の初期値問題の基本解を作り,その解の超波面集合の伝播を厳密な形で求めた。これらの研究の中心は,常微分方程式のStokes係数を求めることと複素相関数をもつフ-リェ積分作用素の研究にある。本年度はこのことをさらに発展させて,常微分方程式のStokes係数を求めることと複素相関数をもつフ-リェ積分作用素の適用をとうして,作用素L_1,L_2以外の作用素についてもその解の超波面集合が伝播するような作用素に関する研究を続けるとともに,非線形偏微分方程式への応用も考えている。
|
