| 研究概要 |
n次元複素ユ-クリッド空間の有界正則領域D上で〓閉(0,1)形式fが与えられたとき未知関数uに対する〓方程式 〓u=fを、uの一様ノルムのfの量による評価を伴って考察するのが我々の問題である。fがDで有界なときは、強擬凸領域Dを始めいくつかの型の領域で、||f||=sup{|f(z)|;z〓D}による評価が得られているが、fが非有界なときは1次元の場合を除いてなにも知られていない。しかし1次元の場合には、Carleson(1962)、Wolff(1980)、Slodkowski、Berndtsson-Ransford(1986)、Cegrell(1990)など手法も多岐にわたっている。私は領域Dとしてはn次元の開球Bを扱い、これらの1次元の結果の高次元化を試みている。特にwolffの方法の検討を詳しく行なっている。これはDual extremal methodといわれる関数解析的方法で、いくつかの関数空間、ノルムを考える。関数空間の間の双対関係などはCauchyの積分公式により示される。
1.高次元の場合には、Henkin、Skoda等による積分公式を用いることになると考えられる。Henkin,Skoda,Varopoulosの論文、Rangeの本などを参考にして、積分公式の準備を行なった。
2.1次元の場合の関数空間、ノルムの高次元化にあたるものは種々考えられる。そのそれぞれに、1次元の場合には生じない興味ある高次元の現象が多々存在する。されらの現象をまとめる作業を、1.の積分公式を用いて行なっている。
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