| 研究概要 |
私の研究の目標は,局所体上の多様体から定まるガロワ表現の性質を調べることである.本年度は,私は,局所体上のガロワ表現に関する重要な予想である,ウェイト・モノドロミー予想に関する研究を行った.その成果として,私は,この予想を,p進一意化を持つ多様体に対して証明することができた.
p進一意化とは,ドリンフェルト上半空間と呼ばれるリジッド解析空間を用いた一意化理論である.ドリンフェルト上半空間は,その構成から,半安定還元を持ち,その特殊ファイバーの既約成分は,有限体上の射影空間の具体的な爆発で表わされる.従って,p進一意化を持つ多様体のコホモロジーは,ウェイト・スペクトル系列により,幾何学的・組み合わせ的に計算できる.そして,この場合のウェイト・モノドロミー予想は,有限体上の射影空間の具体的な爆発に対して,グロタンディークのホッジ標準予想を示すことに帰着される.私は,この場合のホッジ標準予想を,例外因子の組み合わせ的な様子を詳しく調べることで示し,その結果として,ウェイト・モノドロミー予想を証明した.
ウェイト・モノドロミー予想は,混標数かつ高次元の場合には,成り立つ例があまり知られていなかった.本年度の研究により,特別な種類の多様体ではあるが,そのような例が混標数かつ一般次元で得られたことになる.また,数論的応用として,p進一意化を持つ多様体の局所ゼータ関数を,表現論的な不変量によって具体的に求めることができる.数論幾何においては,志村多様体と呼ばれる種類の多様体を研究することが極めて重要であるが,ある種の志村多様体はp進一意化を持つことが知られている.従って,そのような志村多様体に対し,本年度の研究成果を適用することで,保型形式とガロワ表現との深い関係を表わすラングランズ対応にも進展をもたらすと期待される.
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