擬微分作用素論とハミルトン作用素

1990 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 02640120
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 長瀬 道弘 大阪大学, 教養部, 教授 (70034733)
• 研究分担者: 今吉 洋一 大阪大学, 教養部, 助教授 (30091656) ; 満渕 俊樹 大阪大学, 教養部, 教授 (80116102) ; 西谷 達雄 大阪大学, 教養部, 教授 (80127117) ; 難波 誠 大阪大学, 教養部, 教授 (60004462) ; 竹内 勝 大阪大学, 教養部, 教授 (70028116)
• キーワード: シュレディンガ-方程式 / ディラック方程式 / 量子化ハミルトニアン / 相対論 / 非相対論 / 擬微分作用素 / スペクトル解析 / 定数磁場

研究概要

数理物理学における基本的な偏微分方程式であるシュレディンガ-方程式、ディラック方程式などの研究に擬微分作用素論の手法を用いるのが本研究の目的である。相対論的あるいは非相対論的量子化ハミルトニアンの自己共役性に付いては、定数磁場を含む広いクラスの磁場ポテンシャルを持った場合でも擬微分作用素論の手法を用いて本質的自己共役性を示している。更に、磁場のベクトルポテンシャルが与えられている場合でも、相対論的ハミルトニアンに於いて粒子の質量を表すパラメ-タ-を無限大にしたときに、非相対論的ハミルトニアンにどの様に収束するかに付いても詳細な結果を得ており、これらは一昨年(平成元年)12月にタイペイで、更に昨年(平成2年)3月アメリカのアラバマ州のシンポジウムにおいて発表した。この主結果は論文として投稿中である。
量子化ハミルトニアンのスペクトル解析に於いては、作用素の一般論から自己共役作用素の分数べきまたは複素数べきが大切な役割をなすことが知られているが、適当な条件のもとで擬微分作用素の複素数べきを構成することで相対論的または非相対論的量子化ハミルトニアンの複素べきを構成することにもほぼ成功した。これはシュレディンガ-方程式に対するスペクトル解析への応用が期待される。
また、確率過程論において大切な研究課題であるレヴィ過程の生成作用素に現れるジャンプ過程を記述する作用素はラプラス作用素の分数べきとなるが、この作用素に対する初期値問題の基本解の構成のための作用素の分割定理を証明した。この定理も擬微分作用素論的にはより一般の定理を示すことが出来る。

研究成果

• [文献書誌] Nagase,M.: "The nourelativistic limit of the Weyl quantized Hamiltonians of a relativistic spinless partiele" Forum Math.未定.
• [文献書誌] Nagase,M.: "Weyl quantized Hamiltonians of relativistic spinless particles in magnetic fields" J.Functional Anal.92. 136-154 (1990)
• [文献書誌] Nishitani,T.: "Propagation of singularities for hyperbolic operators with transverse propagation cone" Osaka J.Math.27. 1-16 (1990)
• [文献書誌] Namba,M.: "On finite Galois coverings of projective manifolds" J.Math.Soc.Japan. 41. 391-403 (1989)
• [文献書誌] T.Mabuchi: "An algebraic character associated with the Poisson brackets" Adv.Stud.in Pure Math.18ーI. 339-358 (1990)
• [文献書誌] M.Takeuchi: "Twoーnomber of symmetric Rーspaces" Nagoya Math.J.115. 43-46 (1989)