| 研究概要 |
自然科学、工学、社会科学等の広範囲な分野で応用上重要な問題のひとつに、確率過程として記述される系の最適制御の問題がある。その最適解V(x,t)が初期条件(x,t)に如何に依存するかについては、次のようなDynamic Programing Equationに従うことがしられている。
V^++min[A^uV+L(t,x,u)]=0
但し、Lと端点条件t=TでV(T,x)=Φ(x)は問題の価値関数によって定まる既知のもので、uはある制限の下で系に影響を与える制御量、つまりパラメ-タ-である。また、A^uはパラメ-タ-uのときに系を記述するEvolution Operatorsの生成作用素である。そして最小値はしごとにパラメ-タ-uについて取られる。この方程式は最小値(min)がついているためにそのタイプは簡単には判断し難い。これを研究するためにはいくつかの方法が考えられる。例えば、最近ではIshi等の粘性解に関する研究が成果をあげている。
我々のグル-プの研究は、作用素min[A^uV+L(t,x;u)]を特徴づけ粘性解の意味を探るために、(1)様々な意味で一般化された微分作用素の関数解析的な研究。(2)半群の生成作用素としてのA^uの性質をさらに追求して一般化をはかる。(3)具体的な例、Portfolioーcomsumption Process等についてDynamic Equationの解を求める。(4)力学系の幾何学的な研究によってfrajectoryの安定性の追求を通して解の意味と作用素の特徴を探る。等々の方法で研究を進め、ある程度の基礎的な成果を上げてきた。
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