| 研究概要 |
本研究では、多くの「対称性」のもととなるルート系に基づいて,力学的に「可積分性」を実現しているCalogero-Moser系や,その1-パラメタ変形であるRuijsenaars-Schneider系とそれらの超対称性版を基本的出発点として,力学的対称性と,代数的・力学的可解性の関連を具体的な物理対象を通じて調べることを目標としている.力学的には,(例外型)ルート系に基づくR-S模型について,これらの理論の構成,Lax表示を作り保存量を取り出すこと,古典的・量子論的解を与えること,古典および量子r-行列の構成等がある.
初年度には,Yang氏は(Hou,佐々木と共著),slnに基づく楕円型量子群に付随する加群の転送行列を対角化するための(入れ子の)ベーテ仮設を一般化した.これは,多くの楕円型ポテンシャル(ボルツマン重み)を持つ可積分問題,例えば周期的境界を持つ高スピンに一般化されたZ_n Belavin模型,のスペクトル計算を可能にする.この入れ子ベーテ仮設の方法をすべてのポテンシャル型(有理,三角,双曲,楕円)のA_n型のRuijsenaars-Schneider系および楕円型Calogero-Moserの固有値を求めるのに応用する予定である.
さらには有限自由度の系については,有限自由度の古典・量子力学系で可積分性と超対称性を併せ持つCalogero-Moser系とその種々の拡張を中心に研究した.具体的には,古典可積分性と量子可積分性の密接な関係を,古典論のポテンシャルの平衡点の周りの微小振動の周波数,Lax表示の固有値,ルート形に付随する多項式の決定などにより示した.これらの量は,「量子化」されており,可解性の持つ強い代数的制限を明示している.
1パラメタで変形されたCalogero-Moser系(Ruijsenaars-Schneider模型)の平衡点近傍微小振動の周波数についても,顕著な性質があることを明らかにした.
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