保型形式に付随するL関数はその性質、特殊値、などが数論の様々な情報を含んでいることから、様々な視点から様々な手法を用いて研究が重ねられている。特に1変数の上半平面上で定義される保型形式からつくられるL関数に対しては一番単純なものはそれなりに調べられてきたが、まだまだ分かっていることは少なく、更に深い研究が必要である。さて、ひとつの保型形式に付随するL関数と二つの保型形式から作られるランキン・セルバーグL関数について私は関数等式の折り返しの点に置ける値に興味がある。その点に置けるL関数の値は深い意味を持つが、私はLindelof予想のmodulus版という問題に取り組んだ。まず私はL関数の係数の部分和の評価をmodulusに対して良くすることを目標とした。係数和の評価は様々な手法を用いて研究が進んでいるが、modulusに重きをおいた良い評価はまだまだ改良の余地があると思われるのがその理由である。Voronoi公式を用いて、更に工夫をすることによって、係数和の評価としてmodulusについて良いものを得ることには成功した。しかし、残念ながら、目標であったL関数特殊値のmodulusの評価の改良には至らなかった。 また、1変数で上半空間という設定を更に拡張したヒルベルトモジュラー形式に対する研究にも取り組んだ。やはり1変数の時と同様に付随するL関数が定義されている。ただ、こちらは1変数の場合よりもまだまだ調べられていないことが多い。このL関数を調べる準備としていくつかの基本的な性質を導いたことも今年度の研究の中で重要な結果であったといえる。 これらの結果はドイツのハイデルベルグ大学、フライブルグ大学で発表した。更に、3月の早稲田大学における研究集会でも発表する予定である。
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