| 研究概要 |
論文「The a-number Stratification on the Moduli Space of Supersingular Abelian Varieties」において,主偏極超特異アーベル多様体のモジュライ空間Sgの部分多様体Sg(a)の構造の研究を行った.Sg(a)はSgの中のa-数がちょうどaのアーベル多様体がなす部分多様体である.主定理はSg(a)の連結性,既約成分の個数,各既的成分の次元の決定を行っている.以下それを述べる.
1.S^c_g(a)をSg(a)のSgの中のガリスキー閉包とするとS^c_g(a)はg=aでないかぎり連結である.
2.Sg(a)のすべての既約成分の次元は[(g^2-a^2+1)/4]である.([]はガウス記号)
3.Sg(a)の既約成分の個数はgが偶数,aが奇数の時(【numerical formula】)Hg(1,p)g, aが奇数の時(【numerical formula】)Hg(p-1), g, aが偶数の時(【numerical formula】)Hg(p,1)+(【numerical formula】)Hg(1,p), gが奇数aが偶数の時,(【numerical formula】)Hg(1,p)+(【numerical formula】)Hg(p,1)で与えられる.
ここにHg(p,1)は四元ユニタリー群Gの主種数に対する類数Hg(1,p)はGの非種数に対する類数である.
またこの結果の応用として低次元の場合のSgの有理点の数(合同ゼータ関数)の明示式を得ることができた.
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