| 研究概要 |
Gを群とし,その降中心列をG=G_1⊃〓G_2⊃〓…〓⊃Gn〓⊃G_<n+1>⊃〓…とするZGをGの整数環Z上の群環とし,△(G)をZG〓添加イデアルとする △(G)〓リー積△^<(n)>(G)を次のように帰納的に定義する:△^<(1)>(G)=△(G),△^<(n-1)>(G)がすでに定義さているとして,△^<(n)>(G)=(△^<(n-1)>(G),△(G)ZGとするただし,(△^<(n-1)>(G).△(G)はリー積で,αε△^<(n-1)>(G)、βε△(G)に対して,(α,β)=αβ-βαで定義される リー積△^<(n)>(G)は 次のようにGの等にリー次元部分群D_<(n)>(G)を定義する:
D_<(n)>(G)=G∩(1+△^<(n)>(G))
1972年に,R.Sondlingが,1≦n≦6なるすべてのnについて,D_<(n)>(G)=Gnを証明した。そして,1991年に T.C.HunleyとS.K.Schgalがn29なるすべてのnについて,D_<(n)>(G)(] SY.++. [)Gnとなる群Gが存在することを証明した.
平成3年度の本研究では,剰全群D_<(7)>(G)/G_7の指数か高さ2であることを証明した.したがって,この素として,Gがp-群で,pか奇素数ならば,D_<(7)>(G)=G_7であることを証明した.
平成4年度・本研究では すべての有限群Gについて,D_<(7)>(G)=G_7、D_<(8)>(G)=G_8を証明した.
したがって,このhie次元部分群問題は完全に解決された。つまり すべての群Gについて,D_<(n)>(G)=Gn,1≦n≦8、そして,n≧9なるすべてのnについて,D_<(n)>(G)(] SY.++. [)Gnとなる群Gが存在する。
|
