| 研究概要 |
(1)Pseudo-Hermitian structure.我々はpseudo-Hermitian多様体に対してある計量を構成してcurvaturelike function LAMBDAを定義した。以前部分的な結果を出したがこの最終報告において次の形の結論を得た。モデル空間(〓,X)は定曲率LAMBDAをもつcomplete連結,単連結regular standard pseudo-Hermitian多様体X,〓はXのpseudo-Hermitian変換からなる(n+1)^2次元Lie群である。我々は次のuniformization(Sasakian space form problem)を示した。
定理A.Mを定曲率LAMBDAをもつ2n+1次元standard pseudo-Hermitian多様体とする。このとき、Mは(〓,X)に関してuniformizeされる。さらに,もしMがそのリーマン計量g^+についてcompleteならば,Mは商空間X/GAMMAにisomorphicである。ここで,GAMMA⊂〓はX上にproperly discontinuouslyかつfreelyに作用する。特に,Mがコンパクトならば
(〓)LAMBDAが正定数のときspherical space form S^<2n+1>/F,
(〓)LAMBDA=0のときHeisenberg infranilmanifold N/GAMMA,
(〓)LAMBDAが負定数のときローレンツstandard space form 〓^<1,2n>/〓に,isomorphicである。
(2)Deformation of Geometric Structures.我々はS^1作用をもつ場合の共形平坦多様体、Spherical CR多様体の基本群の表現と変形を調べた。結果として表現空間はtypical fiberがtorusとなるTeichm〓ller空間上のinjective Seifert fiber spaceとなることがわかった。
定理B.G=Kerpsi/Diff^0(S^1,M)とおく。psiは自然な写像psi:Diff(S^1,M)→Out(GAMMA)とする。
(1)Mは準自由なS^1作用をもつ2n+1次元閉spherical CR多様体で軌道空間M^*は境界が空でないK〓hler-Kleinian orbifolf D^<2n>-LAMBDA/GAMMA^*とし,かつコホモロジーH^2(GAMMA^*;Z)=0とする。このとき,もしpi_1(M)がvirtuallyに可解群でないなら,ホロノミー写像hol:SCR(U(1),M)→R(GAMMA^*,PU(n,1)/PU(n,1)×T^kは被覆写像でそのファイバーはGと同型である。
(2)Mは準自由なS^1作用をもつn次元閉共形平坦多様体でその軌道空間M^*は境界が空でないKleinian orbifold D^<n-1>-LAMBDA/GAMMA^*,かつコホモロジーH^2(GAMMA^*;Z)=0とする。このとき,もしpi_1(M)がvirtuallyに可解群でないならPhol;CO(SO(2),M)→R(GAMMA^*,SO(n-1,1)^0)/SO(n-1,1)^0×T^kは被覆写像でそのファイバーはGと同型である。
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