| 研究概要 |
(1)Lorentz Structure.我々はcausal Killing vector fieldをもつ定曲率Lorentz多様体の分類を試み,次の結果を得た.
定理1.
(1)Spacelike,lightlike Killing vector fieldを持つような正の定曲率compact Lorentz多様体は存在しない.
(2)Compact Lorentz flat多様体はlightlike,spacelike,timelike Killing vector fieldをもてば,それぞれinfranil-manifold,infrasolvmanifold,euclidean space formになる.
(3)負の定曲率compact Lorentz多様体はtimelike,spacelike Killing vector fieldをもてば,それぞれstandard space form,(nonstandard)homogeneous space formになる.
(2)Pseudo-Hermitian structure.我々はpseudo-Hermitian多様体に対してcurvaturelike function Λを定義し,次の結論を得た.モデル空間(G,X)は定曲率Λをもつcomplete連結,単連結regular standard pseudo-Hermitian多様体X,GはXのpseudo-Hermitian変換からなる(n+1)^2次元Lie群である.
定理2.Mを定曲率Λをもつ2n+1次元standard pseudo-Hermitian多様体とする.このとき,Mは(G,X)に関してuniformizeされる.特に,MがコンパクトならばΛが正定数のときspherical space form,Λ=0のとき,Heisenberg infranilmanifold,Λが負定数のときLorentz standard space fromにisomorphicである.
(3)Deformation of Geometric Structures.我々はS^1作用をもつ場合の共形平坦多様体,Spherical CR多様体の基本群の表現と変形を調べた.結果として表現空間はtypical fiberがtorusとなるTeichmuller空間上のinjective Seifert fiber spaceとなることがわかった.定理3.自然な写像ψ:Diff(S^1,M)→Out(Γ)に対しG=Kerψ/Diff^0(S^1,M)とおく.
(1)Mは準自由なS^1作用をもつ2n+1次元閉spherical CR多様体で軌道空間M^*は境界が空でないKahler-Kleinian orbifold D^<2n>-Λ/Γ^*とし,かつコホモロジーH^2(Γ^*;Z)=0とする.このとき,もしπ_1(M)がvirtuallyに可解群でないなら,ホロノミー写像hol:SCR(U(1),M)→R(Γ^*,PU(n,1))/PU(n,1)×T^kは被覆写像でそのファイバーはGと同型である.
(2)Mは準自由なS^1作用をもつn次元閉共形平坦多様体でその軌道空間M^*は境界が空でないKleinian orbifoldD^<n-1>-Λ/Γ^*,かつコホモロジーH^2(Γ^*;Z)=0とする.このとき,もしπ_1(M)がvirtuallyに可解群でないなら,hol:CO(SO(2),M)→R(Γ^*,SO(n-1,1)^0)/SO(n-1,1)^0×T^kは被覆写像でそのファイバーはGと同型である.
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