研究課題
有向グラフの各頂点Pに有限次元ベクトル空間と群Gpを対応させると、それによって群G=πGpの表現(G,Vr)が自然に定義される。ベクトル空間Vrの群Gによる軌道分解を考察することが、可換環論、グラフ理論、代数幾何学、微分幾何学、幾何学的コントロール理論 等との関連で問題となる。有向グラフΓの古典群による表現の不変式について考察を続けてきたが、不変式環の生成系をグラフ理論の用語を用いて具体的に決定することができた。この結果は、H_2 Weylのベクトル不変式に関する基本定理についての古典的理論の拡張を与える。有向グラフの表現の不変式環のヒルベルト関数を考えよう。一般に、ヒルベルト関数を具体的に計算することは非常に困難な問題であり、ごく少数の例外的な場合を除いては、決定されていない。しかしながら、有向グラフΓの表現の次元ベクトルの各成分をどんどん増大させていくと、ヒルベルト関数は、ある一変数形式的巾級数Pr(t)に近づいていくことを証明した。Pr(t)の一般項の漸近評価式を求めることを問題とする。有向グラフが非常に特別な場合には、それは自然数の分割数の母関数と一致して、古典的なHardy-Ramanujanの漸近式により与えられる。一般の有向グラフの場合にも、Pr(t)の一般項の漸近式を決定することができた。これらの研究成果については、現在論文を作成中である。
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