| 研究概要 |
本研究では、主に実数上の組合せ論とその強制法理論との関係を調べた。特に、無限組合せ論や測度論や順序に関する理論等からのアイディアと技法を用いて基数不変量やランダム強制法による拡大についての研究に焦点を絞った。
(1)Random Gaps.(ω_1,ω_1)-gap (A,B)が可壊とは、あるccc拡大において(A,B)がgapでないときをいう。この研究に関して、「N_1以上のランダム実数を付け加えると可壊な(ω_1,ω_1)-gapが存在する」という外国人特別研究員によって既に示された定理と密接に関連する結果を得た。まず、L(R)がSolovayモデルであるとき、ルベーグ測度がすべての実数の部分集合へ拡大できるという古典的な仮説が成り立つとすると、可壊な(ω_1,ω_1)-gapは存在するが、定義可能な(ω_1,ω_1)-gapは存在しない。また、この研究とは別に、Sunslin gapという組合せ論的概念についても研究を行った。
(2)Splitting numbers. sをsplitting numberと定義するとき、s_<Cohen>で一つのコーエン実数による強制拡大におけるsの値を表す。s_<Cohen>の値を決定することが本研究の目的である。まず、s_Qを有理数Qの稠密な部分集合族の全疎な部分集合で割った商に対応するsplitting numberとするとき、s_<Cohen>=s_Qを示した。また、s_<Cohen>をベール関数からなる族のsplitting numberとして特徴づけた。その上、「^sCohen<min{s, add(M)}が無矛盾である」という予想を証明するために、eventual dominanceで順序づけられたベール空間ω^ωの詳細な分析を行い、反復強制法における保存定理の技法をさらに深く研究した。
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