| 研究概要 |
私の研究の目的は,代数幾何学・リジッド解析学・表現論等の様々な手法を組み合わせて,志村多様体の悪い還元の構造を解明し,そのコホモロジーと保型表現との関係を明らかにすることである.古典的なモジュラー曲線上には,ハッセ不変量と呼ばれる正標数の保型形式が定義される.これは,モジュラー曲線の幾何学や定値四元数環の類数とも関連する重要な研究対象である.昨年度までの研究で,私は,ハッセ不変量の自然な一般化が高次元ユニタリ型志村多様体のp階数階層上に一般化できることを見出した.本年度はこの研究をさらに推し進め,志村多様体の幾何学やコホモロジーに関する結果を得ることができた.
具体的には,志村多様体上では保型形式の定める直線束が豊富になることを利用して,標数pのp階数階層がアフィン多様体になることを示した.そして,p階数階層のコンパクト台エタールコモホロジーが次元以上の次数で消えることを示した.この結果は保型表現に関連する1進係数の場合は,ハリス・テイラーによる大域的な議論によって成り立つことが知られていたが,本年度の研究によりハッセ不変量を用いた幾何学的な解釈が与えられたことになる.また,この方法は捩れ係数のコホモロジーに対しても適用可能であり,将来的には保型形式の合同性等への応用も期待される.
それ以外にも,保型形式の定める直線束の自己交叉を計算することで,各p階数階層の連結成分の個数に関する公式を得た.また,ルビン・テイト形式群の普遍変形に対するデュドネ加群の計算を行い,ハッセ不変量が普遍変形空間の座標によってどのように表されるかを調べた.これにより,高次元版ハッセ不変量のp階数階層の境界における退化の様子を記述することができ,志村多様体の幾何学や,類数公式への応用を得ることができた.
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