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本研究課題の目的は、離散パンルヴェ方程式と呼ばれる可積分な差分方程式、およびその特殊解としての差分超幾何級数の研究を両者の関係性に注目しながら行うことである。
パンルヴェ微分方程式はある1階連立線型常微分方程式のホロノミック変形で特徴付けられるが、離散パンルヴェ方程式についても、1階連立線型常差分方程式のホロノミック変形で特徴付けられるか、という問題がある。いくつかの離散パンルヴェ方程式についてはこのようなホロノミック変形による特徴付けがなされており、離散パンルヴェ方程式の特殊解としての差分超幾何級数を代入すると、これらの線型差分方程式は求積することが知られている。
離散パンルヴェ方程式の理解のためには、このような1階連立線型常差分方程式のホロノミック変形による特徴付けが重要であると考えた。
一方、幾つかのパンルヴェ微分方程式については、ソリトン方程式に対してスペクトラルパラメータに適当な変形条件を課すことにより線型方程式系などを含めて導出できることが知られている。離散パンルヴェ方程式についてそのような手法を用いて導出することを目標として、各パンルヴェ微分方程式を2成分KP階層から統一的に導出した。その結果として、2成分KP階層からパンルヴェ3型および5型方程式が導出されることが新たに分かった。また2成分KP階層の拡張を構成し、その系からパンルヴェ6型方程式が導出されることが分かった。
これらの結果は論文にまとめ、現在投稿準備中である。
これからは、この研究を元にソリトン方程式系と離散パンルヴェ方程式との関係を明らかにしたい。特に楕円差分パンルヴェ方程式に対してホロノミック変形による特徴付けを行いたい。
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