葉層構造の総合的研究

1993 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 05302005
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 松元 重則 日本大学, 理工学部, 教授 (80060143)
• 研究分担者: 橋口 徳一 日本大学, 理工学部, 助手 (00246836) ; 稲葉 尚志 千葉大学, 教養部, 助教授 (40125901) ; 土屋 信雄 桐蔭学園横浜大学, 助教授 (60126323) ; 水谷 忠良 埼玉大学, 理学部, 教授 (20080492) ; 坪井 俊 東京大学大学院, 数理科学研究科, 教授 (40114566)
• キーワード: 葉層構造 / 2次特性類 / ゴドビヨン-ヴェイ類 / ホロノミー / アノソフ流 / コンパクト葉 / 安定性 / 剛性

研究概要

1.2次特性類の理論:もともとC^2級の余次元1葉層にたいし定義されていたゴドビヨン-ヴェイ類は最近C^<1+r>級の葉層に拡張された。我々はゴドビヨン-ヴェイ類は一番一般にはどのクラスの葉層に対し定義されるか?という問題を考え、これを解決した。すなわち、ゴドビヨン-ヴェイ類は、C^<L,vbeta>級(beta<2)という微分可能性を持つ葉層構造にまで定義が拡張されることがわかった。また、このクラスの葉層構造に対して、ゴドビヨン-ヴェイ類は葉層同境の言葉で特徴付けることができることが分かった。これは、他に2次特性類が存在しないことを強く示唆する結果である。
同種の類(離散ゴドビオン-ヴェイ類という。)が区分的にC^<1+r>級の葉層に対し定義されるが、これについて、3-多様体上のPL葉層の離散ゴドビオン-ヴェイ類の値の取る範囲を考える問題があり、これについて特別の場合、剛性の結果が得られた。
2.余次元1葉層の幾何学:余次元1の葉層は幾何的手法によりその定性的性質を調べることが出来る。又その結果をAnosov流等力学系の問題に応用することができる。3-多様体上のものは比較的よく調べられているが、高次元では未知の部分が多い。これについて多様体の位相が葉層の構造に及ぼす影響を調べるのが我々の目標の一つであった。我々は基本群が可解の多様体の上の閉葉を持たない葉層で、非自明なホロノミーが孤立固定点のみを許容するとき、その葉層は本質的にアフィンであるということを示した。これにより、余次元1 Anosov流についてのVerjovsky予想を完全に解決した。
3.コンパクト葉の安定性:3-次元多様体上の余次元1葉層の、種数2以上のコンパクト葉のC^1級の不安定性を示すことに成功した。これは、Bonatti-Firmoの結果の改良である。

研究成果

• [文献書誌] 松元重則: "Codimension one foliations on solvable manifolds" Commentarii Malhematici Helvetici. 68. 633-652 (1993)
• [文献書誌] 稲葉尚志・松元重則・土屋信雄: "Codimension one transversely affine to foliations" Proceedings,Geometric Study of Foliations. (発表予定).
• [文献書誌] 橋口徳一: "On the rigidity of PL represetations of a surface group" Journal of the Faculty of Science,the University of Tokyo. 40. 229-244 (1993)
• [文献書誌] 橋口徳一: "PL-representation of Anosov foliations" Arnale de l'Institut Fourier. (発表予定).
• [文献書誌] 福井和彦: "Stability of Hausdorff foliations of 5-manifolds by Klein bottles" Journal ov Mathmatics,Kyoto University. (発表予定).
• [文献書誌] 坪井俊: "Godbillon-Vey不変量の特徴付け" 数学. 45. 128-140 (1993)
• [文献書誌] S.Hwrder,三松佳彦: "Transversely Eulerdasses of foliations and nonatomic foliation cycles" Comtemporaty Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] 佐藤篤之: "Notes on complete affie flowswithout closed orbits on 3-manifolds" Memoire of the Institute of Science and Tech,Meiji Univ.31. 13-50 (1993)
• [文献書誌] 稲葉尚志・増田一男: "Tangentially affine foliations and leafwise affine functions on the torus" Kodai Mathematical Journal. 16. 32-43 (1993)
• [文献書誌] 増田一男・野口潤二郎: "A construction of hyoperbolic hypersurfaces of P^n(〓)" Kodai Mathematical Journal. (発表予定).