非線形偏微分方程式の解析

1994 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 05452009
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 儀我 美一 北海道大学, 理学部, 教授 (70144110)
• 研究分担者: 小澤 徹 北海道大学, 理学部, 助教授 (70204196)
• キーワード: 非線形放物型方程式 / 曲面の発展方程式 / 非線形散乱理論 / ソボレフの不等式 / ザハロフ方程式

研究概要

非線形放物型方程式は多くの非線形拡散現象を記述する方程式として重要な偏微分方程式のクラスである。従来準線形方程式に対しては微分の最大値の評価でき解が存在するための必要十分条件は、しらべられていたが局所解(時間)が本当に解として接続できなくなるという問題には焦点がむけらわていなかった。本研究では幾何学的手法により実際に解の微分係数が無限大に発散するような例を構成した。また特別ではあるが有用な例である曲面の発展方程式の境界値問題に対しても等高面の方法を拡張し等高面が厚くなる解の例を構成した。
分担者は、解析学の基礎不等式であるソボレフの不等式の臨界現象の解析をおこなった。ソボレフの不等式は関数の積分をその微分の積分で評価するというものであるが、関数のベキと微分の階数には一定の関係が必要であり、パラメータが丁度臨界指数になると評価が無効になることがある。これを解消するのが何人かの研究者によって与えられたが、これらを含む最良の形で書きなおし様々の特徴づけを与えた。これにより、基本的な問題を肯定的に解決した。また非線形散乱理論の高次元化、及び精密化を図った。さらに、プラズマ中の電場とイオン音波の相互作用を記述するザパフ方程式の数学は基礎研究を総合的に行った。
初期化問題、散乱問題、特異摂動問題が主なる研究対象であった。

研究成果

• [文献書誌] Y.Giga and K.Yama-uchi: "On a lower bound for the extinction of sarfaces moved b' mean curvature" Calculus of Variation and PDEs. 1. 417-428 (1993)
• [文献書誌] Y.Giga and M,-H.Sato: "Neumann problem for singular degenerate parabolic eguations" Diff.Integral Egs. 6. 1217-1230 (1993)
• [文献書誌] Y.Giga and S.Takahashi: "On a global weak solutions of the nonstationary two-phase Stokes flow21GC03:SIAM J.Math,Anal" 25. 876-893 (1994)
• [文献書誌] T.Ozawa,and N.Hayashi: "Remarks on nonlinear Schrodinger eguations in one space dimension" Differential and Integral Egs.7. 453-461 (1994)
• [文献書誌] T.Ozawa,and N.Hayashi: "Modified wave operators for the derivative nonlinear Schrodinger eguations" Math.Ann. 298. 557-576 (1994)
• [文献書誌] T.Ozawa,J.Ginibre and G.Velo: "On the existence of the wave operators for a class of nonlinear Schrodinger eguations" Ann.Inst.Henri Poincare',Physigue the'origue. 60. 211-239 (1994)