| 研究課題/領域番号 |
05640033
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| 研究種目 |
一般研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 愛知教育大学 |
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研究代表者 |
金光 三男 愛知教育大学, 教育学部, 教授 (60024014)
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| 研究分担者 |
吉田 憲一 岡山理科大学, 理学部, 教授 (60028264)
鈴木 将史 愛知教育大学, 教育学部, 助教授 (50216438)
石戸谷 公直 愛知教育大学, 教育学部, 助教授 (80133130)
太田 稔 愛知教育大学, 教育学部, 教授 (30022635)
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| 研究期間 (年度) |
1993 – 1994
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| キーワード | anti-integral拡大 / 環の単元群 / 平坦拡大 / 微分加群 / 不分岐拡大 |
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| 研究概要 |
環はすべて単位元1を持つ可換環とする。Rはネーター整域でKをその商体、LをKの代数拡大体でαを0でないLの元とする。πをR〔X〕からR〔α〕への、π(X)=αなるR-代数としての準同型とする。またψ_α(X)=X^d+η_1X^<d-1>+…+η_dをαのK上のモニック最小多項式とする。今、β∈Lに対して、I_β={r∈R1rβ∈R}とし、I_<〔α〕>=I_<η1>∩I_<η2>∩…∩I_<ηd>とおき、また、J_<〔α〕>をψ_α(X)I_<〔α〕>のすべての多項式の係数全体で生成されるRのイデアル、I_<〔α〕>=I_<〔α〕>(I,η_1,…,η_<d-1>)および、J_<〔α〕>=η_dI_<〔α〕>とおく、αがR上次数dのanti-integral elementとは、Ker π=I_<〔α〕>ψ_α(X)R〔X〕が成立するときであると定義し、A=R〔α〕をRのanti-integral拡大という。特にL=Kの場合、R〔α〕がRのanti-integral拡大であることは、R=R〔α〕∩R〔α^<-1>〕が成立することに同値であることが知られている。
得られた結果の主なものは次の通りである。A=R〔α〕は次数dのR上anti-integral拡大環とする。このとき、
1.I_<〔α〕>=Rであることは、制限写像ψ:Spec(A)→Spec(R)が全射で、Aが平坦R-加群であることと同値である。
2.AがR上不分岐拡大環、即ち、微分加群Ω_R(A)=(O)であることはI_<〔α〕>ψ_α(α)A=Aなることと同値である。特にこの場合、Aは平坦R-加群となる。
3.Aが平坦R-加群であることは、I_<〔α〕>A=Aが成立することに同値である。特にL=Kの場合、このことは更に、AがRの不分岐拡大であることなどと同値になる。
4.Lの元α_i(1≦i≦n)に対して、各R〔α_i〕はR上不分岐拡大とする。このときR〔α_1、α_2、…、α_n〕はR上不分岐拡大である。
5.AがR上整のとき、αがAの単元であることは、η_dがRの単元であることに同値である。
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